2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之四边形(一)

试卷更新日期：2024-05-21 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $\frac{21}{5}$ C、 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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2. 如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点 $E$ ，连接 $D E$ ， $A E$ ， $C E$ ，过点 $D$ 作 $D E$ 的垂线交 $A E$ 于点 $P$ ，若 $D E = D P = 1$ ， $P C = \sqrt{6}$ ．有下列结论：① $△ A P D ≌ △ C E D$ ；② $A E ⊥ C E$ ；③点 $C$ 到直线 $D E$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ；④ $S_{正方形 A B C D} = 5 + 2 \sqrt{2}$ ．其中正确的结论是（）

A、①② B、①②③ C、①③④ D、①②④

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3. 如图，矩形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $B E = A C$ ，连接 $D E$ ．若 $∠ E = 75 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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4. 如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ +2 B、5- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3- $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$ +1

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5. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）

A、当 t＝4s 时，四边形 ABMP 为矩形 B、当 t＝5s 时，四边形 CDPM 为平行四边形 C、当 CD＝PM 时，t＝4s D、当 CD＝PM 时，t＝4s 或6s

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以 $A B$ 、 $A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ 、 $A C F G$ ，连结 $D A$ 并延长交 $F G$ 于点H ，连结 $C H$ ．若 $t a n ∠ H C F = k (0 < k < 1)$ ，则 $\frac{A B}{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1 - k}{1 + k}$ B、 $\frac{\sqrt{1 - k^{2}}}{1 + k}$ C、 $\frac{k}{1 + k^{2}}$ D、 $\frac{k}{2 - k}$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $A E$ 平分 $∠ C A D$ 交 $B D$ 于点E.过点E作 $E F ⊥ A E$ ，交 $B C$ 于点F，若四边形 $A E F B$ 的面积为1，则 $C D$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 135 °$ ， $∠ C = 120 °$ ， $A B = \sqrt{6}$ ， $B C = 3 - \sqrt{3}$ ， $C D = 6$ ，则 $A D$ 边的长为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，点 $E ， F$ 分别在 $C D ， A D$ 边上，且 $Δ B C E$ 与 $Δ B F E$ 关于直线 $B E$ 对称.点 $G$ 在 $A B$ 边上， $G C$ 分别与 $B F ， B E$ 交于 $P ， Q$ 两点.若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{5}$ ， $C E = C Q$ ，则 $\frac{G P}{C Q} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{9}{10}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 和矩形 $C E F G$ 中， $\frac{C D}{B C} = \frac{C E}{C G} = \frac{3}{4}$ ，且 $C D = C G$ ，连接 $D E$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，连接 $B G$ 交 $C E$ 于点 $N$ ，交 $D E$ 于点 $O$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $B G ⊥ D E$
B、当 $C N = E N$ 时， $C N^{2} = O N \cdot N G$
C、当 $∠ B D E = ∠ B C E$ 时， $△ B M D$ ∽ $△ B N C$
D、当 $∠ B C E = 60 °$ 时， $\frac{S_{△ B C E}}{S_{△ B C G}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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二、填空题

11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6, A D = 4, ∠ A = 60 °$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为边 $C D, A B$ 上异于端点的动点，且 $D E = B F$ ，连接 $E F$ ，将四边形 $C E F B$ 沿着 $E F$ 折叠得到四边形 $H E F G$ ．当点 $G$ 落在平行四边形 $A B C D$ 的边上时， $B G$ 的长为．

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，分别交 $B D$ 、 $A C$ 于点P、Q ，过点P作 $P F ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于F ，下列结论：
① $∠ A E D + ∠ E A C + ∠ E D B = 90^{\circ}$ ，② $A P = F P$ ，③ $A E = \frac{\sqrt{10}}{2} A O$ ，④若四边形 $O P E Q$ 的面积为4，则该正方形 $A B C D$ 的面积为36，⑤ $C E \cdot E F = E Q \cdot D E$ ．

其中正确的结论有．

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13. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作 $E F ⊥ D E$ 交BC于点F ，对角线AC分别交DE ， DF于点G ， H ，当DH⊥AC时，则 $\frac{G H}{E F}$ 的值为．

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14. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $8$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $B E$ 上一点，且 $E F = 3 F B$ ，若 $G$ ， $H$ 分别为 $B E$ ， $C F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为．

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15. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得 $A E = 2 C E$ ，连接BE，将 $△ B C E$ 沿BE翻折得到 $△ B F E$ ，连接DF．若 $B C = 5$ ，则DF的长为．

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16. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，ABEC与AFEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE；CF交于M，N两点，若BM=BE，MG=1，则线段BM的值为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ，点P是 $A B$ 的中点，M在 $A C$ 上（不与点C重合），连接 $P M$ ，在 $P M$ 的左侧作矩形 $P M Q N$ ．

(1)、如图1，当点N在线段 $B C$ 上时，
①若 $A M = 2$ ，求 $P N$ 的长；
②求 $t a n ∠ P N M$ 的值．

(2)、如图2，当 $P N = P M$ 时，
①若矩形 $P M Q N$ 在 $△ A B C$ 内部（包括边界），设 $A M = x$ ，写出 $C Q$ 的长与x的函数关系式，并求x的取值范围；
②若矩形 $P M Q N$ 的两个顶点落在 $△ P C A$ 的同一条边上，直接写出 $A C$ 在矩形 $P M Q N$ 内部的线段长．

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18. 如图1和图2，平面上，四边形ABCD中， $A B = 8$ ， $B C = 2 \sqrt{11}$ ， $C D = 12$ ， $D A = 6$ ， $∠ A = 90 °$ ，点M在AD上，且 $D M = 2$ ．将线段MA绕点M顺时针旋转 $n ° (0 < n \leq 180)$ 到 $M A^{'}$ ． $∠ A^{'} M A$ 的平分线MP所在的直线交折线 $A B - B C$ 于点P ，设点P在该折线上运动的路径长为 $x (x > 0)$ ，连接 $A^{'} P$ ．

(1)、若点P在AB上，求证： $A^{'} P = A P$ ；

(2)、如图2，连接BD ，求 $∠ C B D$ 的度数，并直接写出 $n = 180$ 时，x的值；

(3)、如图3和图4，若点P到BD的距离为2，求 $t a n ∠ A M P$ 的值．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $C E / / B D$ ，且 $C E = \frac{1}{2} A C$ ，连接 $D E .$ 点 $P$ 是线段 $C D$ 上与点 $C$ ，点 $D$ 不重合的一个动点，过点 $P$ 分别作 $C E$ ， $D E$ 的垂线，垂足分别为点 $F$ ，点 $G$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 2 A B$ ，则在点 $P$ 的运动中， $\frac{A C}{C F + D G}$ 的值是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

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四、实践探究题

20. 如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF.求证：CE=DF.
证明：设CE与DF相交于点 $O$ .
$∵$ 四边形ABCD是正方形，
$∴ ∠ B = ∠ B C D = 9 0^{°} ， B C = C D ，$
$∴ ∠ B C E + ∠ D C E = 9 0^{°} .$
$∵ C E ⊥ D F$
$∴ ∠ C O D = 9 0^{°}$
$∴ ∠ C D F + ∠ D C E = 9 0^{°}$
$∴ ∠ C D F = ∠ B C E$
$∴ △ C B E ≅ △ D C F (A S A)$
$∴ C E = D F$
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题做进一步探究.

(1)、【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH.试猜想 $\frac{E G}{F H}$ 的值，并证明你的猜想.

(2)、【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，则 $\frac{E G}{F H}$ =；

(3)、【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中， $∠ D A B = 9 0^{°} ， ∠ A B C = 6 0^{°} ， A B = B C$ ，点E，F分别在线段AB，AD上，且 $C E ⊥ B F$ ，求 $\frac{C E}{B F}$ 的值

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21. 如图

(1)、如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

(2)、【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．

(3)、【类比迁移】如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

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22.

(1)、【模型感知】如图①，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），连接BE ，将线段BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BE'，连接AE^' ，求证：AE'＝CE；

(2)、【模型发展】如图②，在正方形ABCD中，点E是对角线CA的延长线上的一点，连接BE ，将线段BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BE'，连接AE'，线段AE^'与CE的数量关系为， AE'与CE所在直线的位置关系为（不需证明）；

(3)、【解决问题】如图③，在正方形ABCD中，点E是对角线AC延长线上的一点，连接BE ，将线段BE绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE'，连接AE'，EE'，若AC＝3CE ，则 $\frac{S_{Δ A E E^{^{'}}}}{S_{Δ A B E}}$ ＝．

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