2024中考数学考前20天终极冲刺专题之二次函数

试卷更新日期：2024-05-21 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 经过 $A (2 - 3 b ， m) ， B (4 b + c - 1 ， m)$ 两点的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x - b^{2} + 2 c$ （ $x$ 为自变量）与 $x$ 轴有交点，则线段 $A B$ 长为（）

A、10 B、12 C、13 D、15

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2. 如图是小颖家门口的路灯示意图， $O A$ 为垂直于地面的竖直灯杆(点 $A$ 在地面上)，灯杆顶端 $O$ 与灯泡 $P$ 之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以 $O$ 为坐标原点， $O A$ 所在直线为 $y$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点 $M (2,2)$ ，竖直灯杆 $O A$ 的高度为 $10 m$ ，灯泡 $P$ 到 $y$ 轴的水平距离为 $3 m$ ，则灯泡 $P$ 到地面的高度为( )

A、 $10 m$ B、 $10.5 m$ C、 $11 m$ D、 $11.5 m$

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3. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0) 、 B (m ， 0)$ ，且 $1 < m < 2$ ，有下列结论：① $b < 0$ ；② $a + b > 0$ ；③ $0 < a < - c$ ；④若点 $C (- \frac{2}{3} ， y_{1}) ， D (\frac{5}{3} ， y_{2})$ 在抛物线上，则 $y_{1} > y_{2}$ ．其中，正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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4. 已知ac≠0，若二次函数y₁＝ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0），二次函数y₂＝cx²+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x₃ ， 0），D（x₄ ， 0），则（　　）

A、x₁+x₂+x₃+x₄＝1 B、x₁x₂x₃x₄＝1 C、 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{3} + x_{4}} = 1$ D、 $\frac{x_{1} x_{2}}{x_{3} x_{4}} = 1$

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5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 2 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ ．下列结论：① $\frac{a b}{c} > 0$ ；② $c = 2 b$ ；③若抛物线上有点 $(\frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $(- 3 ， y_{2})$ ， $(- \frac{1}{2} ， y_{3})$ ，则 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ ；④方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的解为 $x_{1} = \frac{1}{2}$ ， $x_{2} = - \frac{1}{3}$ ，其中正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的对称轴为 $x = 1 ，$ 与x轴的一个交点位于 $(2, 0)$ ， $(3, 0)$ 两点之间．下列结论：其中正确的是（）

A、 $2 a + b > 0$ B、 $b c < 0$ C、 $a > - \frac{1}{3} c$ D、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 为方程 $a x ² + b x + c = 0$ 的两个根，则 $- 3 < x ₁ \cdot x ₂ < 0$

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7. 函数 $y = | a x^{2} + b x + c | (a > 0, b^{2} - 4 a c > 0)$ 的图象是由函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0, b^{2} - 4 a c > 0)$ 的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）
① $2 a + b = 0$ ；② $c = 3$ ；③ $a b c > 0$ ；④图象向上平移2个单位后与直线 $y = 5$ 有3个交点．

A、①② B、①③④ C、②③④ D、①③

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8. 已知 $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = 2 m x^{2} + （ 1 - m ） x - 1 - m$ ，下列结论中，正确的序号是（）
① 当 $m = - 1$ 时，函数图象的顶点坐标为 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ ；②当 $m \neq 0$ 时，函数图象总过定点；③当 $m > 0$ 时，函数图象在 $x$ 轴上截得的线段的长度大于 $\frac{3}{2}$ ；④若函数图象上任取不同的两点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，则当 $m < 0$ ，函数在 $x >$ $\frac{1}{4}$ 时，一定能使 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 成立．

A、①② B、①③④ C、①②③ D、①②③④

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9. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，以 $A B$ 为直径在 $x$ 轴上方画半圆交 $y$ 轴于点 $E$ ，圆心为 $I$ ， $P$ 是半圆上一动点，连接 $D P$ ，点 $Q$ 为 $P D$ 的中点．下列四种说法：
$①$ 点 $C$ 在 $⊙ I$ 上；
$② I Q ⊥ P D$ ；
$③$ 当点 $P$ 沿半圆从点 $B$ 运动至点 $A$ 时，点 $Q$ 运动的路径长为 $π$ ；
$④$ 线段 $B Q$ 的长可以是 $3.2$ ．
其中正确说法的个数为( )

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S₁ ， S₂ ， △ABC面积记为S₃ ，当S₁+S₂＝6S₃时，b的值为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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二、填空题

11. 若关于x的方程 $| x^{2} - 4 x + 3 | = x + t$ 恰有三个根，则t的值为.

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12. 在抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上，过 $y$ 轴上点 $E$ 作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，且 $M$ ， $N$ 分别是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点， $△ E M N$ 面积的最小值为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 4)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为.

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14. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，且与x轴交于点 $A (x_{1}, 0)$ 、 $B (x_{2}, 0)$ ，其中 $- 4 < x_{1} < - 3$ ，下列结论：
① $b + 2 a = 0$ ；② $2 < x_{2} < 3$ ；③ $a (n^{2} - 1) + b n + b > 0$ ；④ $4 b + c > 0$ ；⑤ $c (4 a + 1) > b^{2} - a$
其中正确的有．（填写正确的序号）

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三、解答题

15. 已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量 $y_{1}$ （单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为 $y_{1} = - 2 x + 100$ ，乙种玩具每天的销量 $y_{2}$ （单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z（单位：元）
…
20
25
30
…
销量 $y_{2}$ （单位：件）
…
100
80
60
…
其中x ， z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．

(1)、直接写出乙种玩具每天的销量 $y_{2}$ 与每件售价z的关系式是；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是；

(2)、当甲种玩具总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？

(3)、当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格．

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16. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 $O A$ 的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是 $(50, 25)$ ， $O C = 5$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在斜坡上的点A建有垂直于水平线 $O D$ 的城墙 $A B$ ，且 $O D = 75$ ， $A D = 12$ ， $A B = 9$ ，点D ， A ， B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙 $A B$ ．

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17. 排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在 $O$ 处将球垫偏，之后又在A、 $B$ 两处先后垫球，球沿抛物线 $C_{1} \to C_{2} \to C_{3}$ 运动（假设抛物线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 在同一平面内），最终正好在 $O$ 处垫住， $O$ 处离地面的距离为1米．如图所示，以 $O$ 为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系， $x$ 轴平行于地面水平直线 $m$ ，已知点 $A (\frac{3}{2}, \frac{3}{8})$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- \frac{3}{2}$ ，抛物线 $C_{1}$ 表达式为 $y = a x^{2} - 2 a x$ 和抛物线 $C_{3}$ 表达式为 $y = 2 a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的函数表达式；

(2)、第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；

(3)、为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处 $B$ 离地面的高度至少为多少米？

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18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，若抛物线与x轴交于 $B (4 ， 0)$ ， $C (- 2 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $A (0 ， - 2)$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，若点 $E$ 是直线 $C A$ 下方的抛物线上一点，过点 $E$ 作 $E F ∥ A B$ ，交轴于点 $F$ ，且 $E F = \sqrt{5}$ ，求点 $E$ 的横坐标；

(3)、如图2，点 $M$ 在点 $B$ 的正下方，连接 $C M$ ，交抛物线于点 $N$ ，直线 $B N$ 交对称轴于点 $P$ ，作 $P Q ∥ C M$ ，交射线 $B M$ 于点 $Q$ ，求 $B Q$ 的大小．

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四、实践探究题

19. 综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y （m）与水平距离x （m）满足二次函数的关系.

(1)、在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x（m）
0
1
1.5
竖直高度y（m）
10
10
6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；

(2)、在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；

(3)、信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h （m）与时间t （s）之间满足h=-5t²+k .
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C 动作.
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x （m）的关系为y =ax²-ax+10（a<0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C 动作，则a的取值范围是 ▲ .

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五、综合题

20. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．

(1)、若丝绸花边的面积为650cm² ，求丝绸花边的宽度；

(2)、已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

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21. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过坐标原点O与点 $A (3 ， 0)$ ，正比例函数 $y = k x$ 与抛物线交于点 $B (\frac{7}{2} ， \frac{7}{4})$ .

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴于点N，交 $O B$ 于点M，是否存在点P，使得 $△ O M N$ 与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计跳长绳方案
素材1	图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2	某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．
问题解决
任务1	确定长绳形状	在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2	探究站队方式	当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3	拟定位置方案	为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．

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每件售价z（单位：元）	…	20	25	30	…
销量 $y_{2}$ （单位：件）	…	100	80	60	…

水平距离x（m）	0	1	1.5
竖直高度y（m）	10	10	6.25