湖南省永州市道县2023-2024学年九年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）

1. $- 2024$ 的倒数是（）

A、 $- \frac{1}{2024}$ B、-2024 C、 $\frac{1}{2024}$ D、2024

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2. 4月21日7时45分，长征二号丁运载火箭成功发射遥感四十二号02星，中国航天实力杠杠的。下列有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 我国自主研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知28nm为0.000 000 028米，数据0.000 000 028用科学记数法表示为（）

A、 $2.8 \times 1 0^{- 14}$ B、 $2.8 \times 1 0^{- 8}$ C、 $2.8 \times 1 0^{- 5}$ D、 $2.8 \times 1 0^{- 9}$

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4. 下列运算中正确的是（）

A、 $- \sqrt{25} = \pm 5$ B、 $\pm \sqrt{25} = - 5$ C、 $\sqrt{25} = 5$ D、 $\sqrt[3]{125} = \pm 5$

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5. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（）

A、两点之间，线段最短 B、两点确定一条直线 C、垂线段最短 D、以上说法都不对

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6. 为推进“五育”并举，加强劳动教育，某中学开设了“跟我学面点”烹饪课程，学校花费6000元购进了第一批面粉，后又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但面粉单价提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（）

A、 $\frac{9600}{1.5 x} - \frac{6000}{x} = 0.4$ B、 $\frac{9600}{x} - \frac{6000}{1.5} = 0.4$ C、 $\frac{6000}{1.5 x} - \frac{9600}{x} = 0.4$ D、 $\frac{6000}{x} - \frac{9600}{1.5 x} = 0.4$

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7. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C, D$ 是圆上的两点，若 $∠ B A C = 3 8^{。}$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为（）

A、 $13 8^{。}$ B、 $13 6^{。}$ C、 $12 8^{。}$ D、 $12 6^{。}$

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8. 若三角形的三边长分别为 $a, b, c$ ，且满足 $(a - 13)^{2} + | b - 12 | + \sqrt{c - 5} = 0$ ，则这个三角形的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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9. 某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表：
年龄(岁)
13
14
15
16
人数(名)
1
4
5
2
下列关于这12名队员的年龄的说法正确的是（）

A、极差是4 B、中位数是14.5 C、众数是15 D、平均数是15

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10. 伟大的阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值.比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”.已知阻力 $F_{1} (N)$ 和阻力臂 $L_{1} (m)$ 的函数图象如图，若小明想使动力 $F_{2}$ 不超过150N，则动力臂 $L_{2}$ (单位：m)需满足（）

A、 $0 < L_{2} \leq 4$ B、 $0 < L_{2} < 4$ C、 $L_{2} > 4$ D、 $L_{2} \geq 4$

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二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）

11. 因式分解： $4 a - 12 a y =$ .

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12. 函数中自变量x的取值范围是.

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13. 一个不透明盒子里有5个标号为1，2，3，4，5的大小相同的小球，从中取出一个小球，小球标号为偶数的概率是.

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14. 平面直角坐标系中，点 $(- 4, 6)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是．

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15. 分式方程 $\frac{3 x}{x + 1} = 2$ 的解为.

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16. 若圆锥的底面半径是2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是.（用 $π$ 表示）

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17. 已知一次函数 $y_{1} = 4 x + 5$ 与 $y_{2} = 3 x + 10$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ 的解集是.

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18. 数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆 $M N$ 的高度 $A B$ ，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角 $∠ A E G = 30 °$ ，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角 $∠ A F G = 45 °$ ，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在水平直线上，则车辆限高杆的高度为米.
（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果保留两位小数）

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三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）

19. 计算： $(- 1)^{2024} + | 2 - \sqrt{3} | + 2 c o s 3 0^{∘} + (\frac{1}{2})^{- 1}$ .

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20. 先化简，再求值： $[{(x - 2 y)}^{2} + (x + 2 y) (x - 2 y)] \div 2 x$ ，其中 $x = 3$ ， $y = - 5$ ．

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21. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，若 $△ A D E$ 的面积为 $4$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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22. 我县组织开展研学活动，共有月岩，陈树湘烈士纪念馆，濂溪故里，葫芦岩红军渡4个地点可供选择，让同学们投票决定最终研学地点，现将同学们的投票结果制成如下统计图（其中A：月岩，B：陈树湘烈士纪念馆，C：濂溪故里，D：葫芦岩红军渡），根据相关信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样的样本容量为，请补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中a的值为，圆心角β的度数为；

(3)、若我县有5000名同学参加研学活动，试估计去月岩的有多少?

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23. 如图，AD是△ABC中BC边上的中线.求证：AD＜ $\frac{1}{2}$ (AB+AC）

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24. 某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价 (单位元)如下表：
配件
甲
乙
成本
售价

(1)、若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个?

(2)、如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号配件的产量，可使该月公司所获利润最大? 并求出最大利润．

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线，以 $A O ， O C$ 为邻边作平行四边形 $A O C D$ ，边 $A D$ 交 $⊙ O$ 于点E ，连接 $E C$ ．

(1)、求证： $E C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 6$ ， $t a n ∠ C O B = \frac{4}{3}$ ，求AE的长度；

(3)、在（2）的条件下，求 $s i n ∠ D C E$ 的值．

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26. 定义：在平面直角坐标系中，设直线 $l$ 的解析式为： $y = k x + m$ ( $k 、 m$ 为常数且 $k \neq 0$ )，当直线 $l$ 与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线 $l$ 与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．根据定义，完成下列问题．

(1)、求直线 $l$ ： $y = - x + 6$ 与曲线 $y = \frac{9}{x}$ 的切点坐标；

(2)、已知函数 $y_{1} = 2 x$ ，函数 $y_{2} = x^{2} + 1$ ，是否存在二次函数 $y_{3} = a x^{2} + b x + c$ ，其图象过点 $(- 3 ， 2)$ ，使得直线 $y_{1} = 2 x$ 与曲线 $y_{2}, y_{3}$ 都相切于同一点?若存在，求出 $y_{3}$ 的解析式若不存在，请说明理由；

(3)、已知直线 $l_{1} : y_{1} = k_{1} x + m_{1} (k_{1} \neq 0)$ ，直线 $l_{2} : y_{2} = k_{2} x + m_{2} (k_{2} \neq 0)$ 是抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 2$ 的两条切线，当 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点 $P$ 的纵坐标为4时，试判断 $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值，并说明理由．

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年龄(岁)	13	14	15	16
人数(名)	1	4	5	2

配件	甲	乙
成本
售价