浙江省杭州钱塘区九年级下学期2024年数学学业水平测试（一）模拟试卷

试卷更新日期：2024-05-20 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（）

A、 $34.45 \times 1 0^{8}$ B、 $3.445 \times 1 0^{9}$ C、 $3.445 \times 1 0^{10}$ D、 $0.3445 \times 1 0^{10}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $- \sqrt{(- 7)^{2}} = 7$ B、 $\sqrt{(- 7)^{2}} = - 7$ C、 $\sqrt{(- 7)^{2}} = \pm 7$ D、 $\sqrt{(- 7)^{2}} = 7$

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3. 某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
1
2
3
4
5
人数
4
12
16
17
1
关于这组数据，下列说法正确的是（）

A、平均数是3 B、方差是3 C、中位数是3 D、众数是17

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4. 在平面直角坐标系中，若 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(4, - 4), (1, 3)$ ，将点 $B$ 向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点 $C$ ，则关于点 $A, C$ 的位置关系描述正确的是（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线 $y = x$ 对称

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5. 下列因式分解正确的是（）

A、 $4 a^{2} - 1 = (4 a + 1) (4 a - 1)$ B、 $- a^{2} + 25 = (5 + a) (5 - a)$ C、 $a^{2} - 6 a b - 9 b^{2} = (a - 3 b)^{2}$ D、 $a^{2} - 8 a + 16 = (a - 8)^{2}$

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6. 如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线 $l_{3}$ 分别交直线 $l_{1}, l_{3}$ 于点 $A, B$ ，点 $C$ 在直线 $l_{2}$ 上，连结 $A C$ ．若 $∠ 1 = 45 °$ ， $∠ 2 = 100 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）．

A、45° B、50° C、55° D、60°

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7. 如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上，C为弧 $A B$ 的中点．若 $∠ B A C = 2 ∠ O A B$ ，则 $∠ A O B$ 等于（）

A、 $144 °$ B、 $135 °$ C、 $130 °$ D、 $120 °$

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8. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，过顶点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ B C$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，连接 $E F$ ，若 $c o s A = \frac{2}{3}$ ， $△ B E F$ 的面积为 $2$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $18$ B、 $24$ C、 $30$ D、 $36$

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，当 $y < n$ 时， $x$ 的取值范围是 $t - 3 < x < 1 - t$ ，且该二次函数的图象经过点 $M (3, m + 1)$ ， $N (d, m)$ 两点，则 $d$ 的值不可能是（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $4$

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10. 如图，已知正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形 $M N P Q$ ，连接 $M F$ 并延长交 $N P$ 于点 $O$ ，设正方形 $E F G H$ 的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $M N P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{4}{49}$ ，则 $\frac{O P}{O C}$ 的值为（）

A、 $\frac{49}{20}$ B、 $\frac{56}{25}$ C、 $\frac{35}{16}$ D、 $2$

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二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 计算： $(a - 3)^{2}$ ．

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12. 文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮24秒，黄灯亮6秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为．

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13. 已知 $x = 1 - \sqrt{2}$ ， $y = 1 + \sqrt{2}$ ，则 $x^{2} + 3 x y + y^{2}$ 的值为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (- 2, 2), B (n, - 1)$ ．当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围是．

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15. 如图，分别以等边 $△ A B C$ 的顶点 $A, B, C$ 为圆心，以 $A B$ 长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为 $2 π$ ，则莱洛三角形的面积为．

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16. 如图，点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点，沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 恰好落在 $C D$ 边上的点 $F$ 处．设 $\frac{D F}{F C} = x ， \frac{B E}{E C} = y$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式是．

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三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 解不等式： $\frac{x + 1}{2} - 1 \leq \frac{2 x - 1}{3}$ ．

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18. 如图，在由边长为1的小正方形构成的 $5 \times 6$ 的网格中， $△ A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．

(1)、如图1，在线段 $A C$ 上找一点 $D$ ，使得 $\frac{A D}{D C} = \frac{1}{4}$ ．

(2)、如图2，在三角形内寻找格点 $P$ ，使得 $∠ B P C = 2 ∠ A$ ．

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19. 某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)、该学校抽样调查的学生人数是．

(2)、请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．

(3)、若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = ∠ C B A$ ， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ， $B E ⊥ A C$ 交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B C E$ ．

(2)、若 $A C = 4$ ， $D C = 3$ ，求 $A B$ 的长．

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21. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度 $A B$ ，在建筑物附近有一斜坡，坡长 $C D = 10$ 米，坡角 $α = 30 °$ ，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为 $60 °$ ，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 $30 °$ ．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

(1)、求点D到地面 $B C$ 的距离；

(2)、求该建筑物的高度 $A B$ ．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D, E, F$ 分别在边 $A B, A C, B C$ 上，连接 $D E, D F, B E, D F$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ．已知四边形 $D F C E$ 是平行四边形，且 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{5}$ ．

(1)、若 $A C = 25$ ，求线段 $A E, G F$ 的长．

(2)、若四边形 $G F C E$ 的面积为48，求 $△ E B C$ 的面积．

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + 2 - a$ （ $a$ 是常数， $a \neq 0$ ）．

(1)、若 $a = - \frac{1}{2}$ ，求该函数图象顶点坐标；

(2)、若该二次函数图象经过 $(- 1, 1), (1, - 2), (2, - 5)$ 三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；

(3)、若 $- 5 \leq a \leq - 2$ ，当 $- 3 \leq x \leq 0$ 时， $y = a x^{2} - 2 x + 2 - a$ 的最大值记为 $m$ ，最小值记为 $n$ ，求 $a m - n$ 的最小值．

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24. 如图 $1$ ， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $C ， D$ 是半圆 $O$ 上的点，且 $A C ∥ O D$ ，连结 $B C$ 交 $O D$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $O D ⊥ B C$ ．

(2)、如图 $2$ ，连结 $C D ， A D ， B D$ ，若 $s i n ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，求 $△ A C D$ 与 $△ O B D$ 的面积之比．

(3)、如图 $3$ ，连结 $B D$ ，作 $C P ∥ B D$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，连结 $P D$ ．求证： $B D^{2} = B O \cdot B P$ ．

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册数	1	2	3	4	5
人数	4	12	16	17	1