浙江省宁波市镇海区2024年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-20 类型：中考模拟

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一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 在实数 $1$ ， $0$ ， $\sqrt{3}$ ， $- 2$ 中，最小的数是( )

A、 $1$ B、 $0$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- 2$

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2. 据统计，2024年春节期间，国内旅游出行474000000人次，其中数474000000用科学记数法表示为（）

A、 $4.74 \times 1 0^{7}$ B、 $47.4 \times 1 0^{7}$ C、 $4.74 \times 1 0^{8}$ D、 $0.474 \times 1 0^{9}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} - a^{2} = a$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ D、 $(2 a + 1) (2 a - 1) = 2 a^{2} - 1$

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4. 一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：

	树苗平均高度（单位：m）	标准差
甲苗圃	1.8	0.2
乙苗圃	1.8	0.6
丙苗圃	2.0	0.6
丁苗圃	2.0	0.2

请你帮采购小组出谋划策，应选购（）

A、甲苗圃的树苗 B、乙苗圃的树苗； C、丙苗圃的树苗 D、丁苗圃的树苗

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5. 若点 $G (a, 2 - a)$ 是第二象限的点，则a的取值范围是（）

A、 $a < 0$ B、 $a < 2$ C、 $0 < a < 2$ D、 $a < 0$ 或 $a > 2$

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6. 如图是一架人字梯，已知 $A B = A C = 2$ 米，AC与地面BC的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离BC为（）

A、 $4 c o s α$ 米 B、 $4 s i n α$ 米 C、 $4 t a n α$ 米 D、 $\frac{4}{c o s α}$ 米

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7. 一次数学课上，老师让大家在一张长12cm ，宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形；甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 $E F G H ($ 见方案一 $)$ ，乙同学沿矩形的对角线AC折出 $∠ C A E = ∠ D A C$ ， $∠ A C F = ∠ A C B$ 的方法得到菱形 $A E C F ($ 见方案二 $)$ ，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（）．

A、甲 B、乙 C、甲乙相等 D、无法判断

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8. 甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x = 5 y + 10 \\ 4 y = 6 x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x = 5 y + 10 \\ 4 x = 6 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 10 = 5 y \\ 4 x = 6 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 y = 5 x + 10 \\ 4 y = 6 x \end{array}$

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b + 4 a = 0$ ；③ $b + c > 0$ ；④若图象上有两点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 且 $0 < x_{1} < 4 < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，点E、F分别是正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 、 $B C$ 上的点，将正方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使得点B的对应点 $B^{'}$ 恰好落在边 $C D$ 上，则 $△ D G B^{'}$ 的周长等于（）

A、 $2 A B$ B、 $A B + \sqrt{2} B F$ C、 $\sqrt{2} A B + B F$ D、 $2 \sqrt{2} B F$

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 若分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 的值为0，则x的值是．

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12. 分解因式： $m x^{2} - 4 m =$ ．

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13. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， B C = 8$ ， $∠ B$ 的平分线 $B E$ 交边 $A D$ 于点E ，则 $D E$ 的长为．

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14. 一个圆锥的高为4，母线长为6，则这个圆锥的侧面积是．

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15. 有三面镜子如图放置，其中镜子 $A B$ 和 $B C$ 相交所成的角 $∠ A B C = 110 °$ ，已知入射光线 $E F$ 经 $A B, B C, C D$ 反射后，反射光线与入射光线 $E F$ 平行，若 $∠ A E F = α$ ，则镜子 $B C$ 和 $C D$ 相交所成的角 $∠ B C D =$ ．（结果用含 $α$ 的代数式表示）

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16. 如图，已知矩形 $A B C D$ ，过点A作 $A E ⊥ A C$ 交 $C B$ 的延长线于点E ，若 $∠ A E D = ∠ A C B$ ，则 $t a n^{2} ∠ B A E =$ ．

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三、解答题（第17－19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）

17. 计算：

(1)、 $202 4^{0} + (- 3)^{2} \times 3^{- 2} - | - \frac{1}{3} |$

(2)、先化简，再求值： $(1 + x) (1 - x) + x (x + 2)$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$

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18. 某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分10分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类： $A$ 类 $(m = 10)$ ， $B$ 类 $(7 \leq m \leq 9)$ ， $C$ 类 $(4 \leq m \leq 6)$ ， $D$ 类 $(m \leq 3)$ ，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、本次抽样调查的人数为，并补全条形统计图：

(2)、扇形统计图中A类所对的圆心角是°，测试成绩的中位数落在类；

(3)、若该校九年级男生有500名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有多少名？

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19. 如图，直线 $y = k x + b$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 相交于点 $A (2, n) B (6, 1)$ ．

(1)、求直线及双曲线对应的函数表达式；

(2)、直接写出关于x的不等式 $k x + b > \frac{m}{x} (x > 0)$ 的解集；

(3)、求 $△ A B O$ 的面积．

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20. 如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均是等边三角形，F点在 $A C$ 上，延长 $E F$ 交 $B C$ 于点D ，连接 $A D ， C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、当点D在线段 $B C$ 上什么位置时，四边形 $A D C E$ 是矩形？请说明理由．

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21. 如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ， $△ A B C$ 的各个顶点都在格点上．

(1)、在 $B C$ 边上作一点 $M$ ，使得 $△ A B M$ 的面积是 $\frac{8}{3}$ ，并求出 $\frac{B M}{C M}$ 的值；

(2)、作出 $A C$ 边上的高 $B D$ ，并求出高 $B D$ 的长．
（说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹）

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22. 星期日上午 $9 : 00$ ，小明从家里出发步行前往离家 $2.4 k m$ 的镇海书城参加读书会活动，他以 $75 m / m i n$ 的速度步行了 $12 m i n$ 后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助， $9 : 15$ 爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以 $375 m / m i n$ 的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程 $s (m)$ 与小明所用时间 $t (m i n)$ 的函数关系如图所示．

(1)、求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．

(2)、爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

设计跳长绳方案

素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．

素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；
（2）9名跳绳同学身高如右表．

身高（m）	1.70	1.73	1.75	1.80
人数	2	2	4	1

素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的

．

问题解决

任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．

任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．

任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m.此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．

请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．

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24. 如图1，已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $B D$ 的直径．作 $A F ∥ B C$ 交 $C D$ 于点E ，交 $⊙ O$ 于点F ．

(1)、证明： $A F ⊥ C D$ ；

(2)、若 $c o s ∠ D A F = \frac{4}{5}$ ， $A C = 4$ ，求半径r；

(3)、如图2，连接 $B E$ 并延长交 $D F$ 于点G ，交 $⊙ O$ 于点H ．若 $A F = C D$ ， $∠ A E B = ∠ B D C$ ．
①求 $t a n ∠ B D C$ ；
②连接 $O E$ ，设 $O E = x$ ，用含x的式子表示 $G H$ 的长．（直接写出答案）

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