新疆乌鲁木齐市天山区2024年中考数学质量监测试卷

试卷更新日期：2024-05-20 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，请按答题卷中的要求作答）

1. 下面四个数中，最小的数是（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、三棱锥 B、三棱柱 C、长方体 D、圆锥

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3. 截至2月10日8时，中央广播电视总台2024年春节联欢晚会在新媒体端直播用户规模达7.95亿人．将数据7.95亿用科学记数法表示为（）

A、 $0.795 \times 1 0^{8}$ B、 $7.95 \times 1 0^{8}$ C、 $0.795 \times 1 0^{9}$ D、 $7.95 \times 1 0^{9}$

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4. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点O为位似中心，且 $O A : O D = 1 : 2$ ，若 $△ A B C$ 的周长为8，则 $△ D E F$ 的周长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、16 D、32

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{3} \div a^{3} = 0$ C、 ${(a^{2})}^{4} = a^{8}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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6. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} (x - 4.5) = x - 1$ B、 $2 x - 1 = x + 4.5$ C、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x - 1$ D、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x + 1$

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8. 如图， $A B$ 、 $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线，B、C为切点，D是 $⊙ O$ 上一点，连接 $B D$ 、 $C D$ ，若 $∠ B D C = 60 °$ ， $A B = 3$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为（）

A、1.5 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴负半轴交于 $(- \frac{1}{2}, 0)$ ，顶点坐标为 $(1, n)$ ，有以下结论：① $a b c < 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③若点 $(- 2, y_{1})$ ， $(0, y_{2})$ ， $(3, y_{3})$ ，均在函数图象上，则 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ ；④对于任意m都有 $a + b \leq a m^{2} + b m$ ；⑤点M ， N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P ，使得 $P M ⊥ P N$ ，则a的范围为 $a \geq \frac{2}{3}$ ．其中结论正确的有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

10. 不等式 $x + 3 > 0$ 的解集是．

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11. 如图， $△ A D E$ 是由 $△ A B C$ 旋转得到，若 $∠ 1 = 25 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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12. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{1} x_{2}$ 的值是．

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13. 《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是．

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14. 如图，平行于主光轴 $M N$ 的光线 $A B$ 和 $C D$ 经过凹透镜的折射后，折射光线 $B E ， D F$ 的反向延长线交于主光轴 $M N$ 上一点P ． $∠ A B E = 140 ° ， ∠ C D F = 150 °$ ，则 $∠ E P F$ 的度数是．

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15. 如图，已知矩形 $A B C D$ 的对线 $B D$ 中点 $E$ 与点 $A$ 都经过反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象，且 $S_{矩形 A B C D} = 4$ ，则 $k =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{6})$ ；

(2)、 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 27} - | 3 - π |$ ．

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17.

(1)、解方程： $\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x}$ ；

(2)、计算： $2 (x + 1)^{2} - (x + 2) (x - 2)$ ；

(3)、先化简，再求值： $(\frac{a}{a - 2} + 1) + \frac{a - 1}{a + 2}$ ，其中 $a = - 1$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：过A作 $A D ⊥ B C$ 于点D ，并延长 $A D$ 到点E ，使 $D E = A D$ ．连接 $B E$ ， $C E$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作图形中，求证：四边形 $A B E C$ 是菱形．

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19. 某公司计划购入语音识别输入软件来提高办公效率．市面上有

A

、

B

两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小敏随机选取了

20

个句子，其中每句都含

10

个字．他用标准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件，并将语音识别结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

$A$ 款软件每个句子中识别正确的字数记录为：

$5$ ， $5$ ， $6$ ， $6$ ， $6$

$6$ ， $6$ ， $6$ ， $7$ ， $7$

$8$ ， $9$ ， $9$ ， $9$ ， $9$

$10$ ， $10$ ， $10$ ， $10$ ， $10$

$B$ 款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为：

$A$ 、 $B$ 两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表

软件	平均数	众数	中位数	识别正确达到 $10$ 个字的句子所占百分比
$A$ 款	$7.7$	$a$	$7.5$	$25 %$
$B$ 款	$7.7$	$8$	$b$	$c$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述中的

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、若会议记录员用

A

、

B

两款软件各识别了

500

个句子，每个句子有

10

个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有多少个？

(3)、该公司现派三人采购小组前去购进一批语音识别输入软件，估计他们三人都同意购买

A

款软件的概率是多少？

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20. 达坂城风力发电站位于乌鲁木齐市区与达坂城区之间的公路旁，风区风能资源十分丰富，光热条件优异，由上百座巨大的发电风车组成，是中国最大的风能基地，有中国“风谷”之称．如图，某校学生测量其中一座风车的轮载高度（风轮旋转中心到基地平面的垂直距离） $A B$ ，先在点C处用测角仪测得其风车顶端A的仰角为 $32 °$ ，再由点C走 $50$ 米到点E处，测得风车顶端A的仰角为 $45 °$ ．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度 $C D = E F = 1.5$ 米，求该座风车的轮载高度 $A B$ ．（参考数据： $s i n 32 ° \approx 0.53$ ， $c o s 32 ° \approx 0.85$ ． $t a n 32 ° \approx 0.63$ ，结果保留整数）

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21. 阳春三月，正是踏青的好时节，某品牌运动鞋很受顾客的喜爱，一家商场正在火热售卖该品牌运动鞋，每日销售量y（双）与销售单价x（元/双）之间存在一次函数关系，如下表所示．已知该品牌运动鞋的成本为 $150$ 元/双．
销售单价x（元/双）
$180$
$190$
$200$
销售量y（双）
$160$
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 140 \end{array} \end{array}$
$120$

(1)、求出y与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；

(2)、当销售单价为多少元时，每日销售利润最大．此时最大利润为多少？

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22. 如图，以 $△ D C E$ 的边 $D C$ 为直径做 $⊙ O$ 交 $D E$ 于点A ，连接 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点B ，连接 $A C$ 、 $B C$ ，且 $∠ C E D = ∠ C A B$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 3 \sqrt{2}$ ， $t a n B = \frac{3}{5}$ ，求线段 $C E$ 的长（保留根号）．

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23.

(1)、【问题情境】如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E、F、G分别是 $B C$ 、 $A B$ 、 $C D$ 上的点， $F G ⊥ A E$ 于点Q ．求证： $A E = F G$ ；

(2)、【尝试应用】
如图2，正方形网格中，点A、B、C、D为格点， $A B$ 交 $C D$ 于点O ．求 $s i n ∠ A O C$ 的值；

(3)、【拓展提升】
如图3，点P是线段 $A B$ 上的动点，分别以 $A P$ 、 $B P$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A P C D$ 与正方形 $P B E F$ ，连接 $D E$ 分别交线段 $B C$ 、 $P C$ 于点M、N ．求 $∠ B M E$ 的度数．

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销售单价x（元/双）	$180$	$190$	$200$
销售量y（双）	$160$	$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 140 \end{array} \end{array}$	$120$