四川省南充市2024年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-20 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $(- 3)^{2}$ 的相反数是( )

A、 $- 6$ B、 $- 9$ C、 $9$ D、 $- \frac{1}{9}$

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2. 下列运算正确的是( )

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 $(- a + b) (- a - b) = - a^{2} - b^{2}$ C、 $- a^{2} b^{2} \cdot a b^{3} = a^{3} b^{5}$ D、 $(- 3 a^{3} b^{2})^{2} = 9 a^{6} b^{4}$

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3. 一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状不可能是( )

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、四边形 D、五边形

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4. 如图，在正五边形 $A B C D E$ 中，作 $A F ⊥ C D$ 于 $F$ ，连接 $B E$ 与 $A F$ 交于 $G .$ 下列结论，错误的是( )

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 4 = 2 ∠ 3$ C、 $A F ⊥ B E$ D、 $B G = C D$

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5. 不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 > 0 \\ x - 2 \sqrt{3} < 0 \end{array}$ 的整数解的个数是( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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6. 已知一组数据 $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $a$ 的平均数为 $5$ ，则这组数据的方差为( )

A、 $1$ B、 $1.2$ C、 $1.5$ D、 $2$

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7. 若 $A (a, m)$ ， $B (b, m)$ ， $P (a + b, n)$ 是抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 上不同三点，则 $n$ 的值为( )

A、 $3$ B、 $2$ C、 $6$ D、不确定

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8. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在 $⊙ O$ 上， $∠ B C D = 5 ∠ B A D$ ，若 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $A B$ 的长最大为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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9. 甲计划用若干天完成某项工作，两天后，乙加入合做，结果提前两天完成任务 $.$ 若甲、乙两人工效相同，则甲计划完成此项工作的天数是( )

A、 $6$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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10. 如图，在边长为 $4$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $A D$ 靠近点 $A$ 的四等分点 $. F$ 为边 $A B$ 上一动点，将线段 $E F$ 绕点 $F$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $F G .$ 连接 $D G$ ，则 $D G$ 的最小值为( )

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{5}{2} \sqrt{2}$ D、 $3$

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 比较大小： $\sqrt{2} - 1$ $\frac{1}{2} . ($ 选用“ $>$ ”或“ $<$ ” $)$

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12. 在一个不透明的袋子中装有 $3$ 张完全相同的卡片，分别写有数字 $1$ ， $2$ ， $3 .$ 从中随机抽取两张，组成的两位数是 $3$ 的倍数的概率为．

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13. 如图，在直角坐标系中，已知 $A (- 3,0)$ ， $B (1, - 2) .$ 将线段 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A C$ ，则点 $C$ 的坐标是．

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14. 设 $p$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + n - 1 = 0$ 的一个实数根，若 $(p^{2} - 2 p + 3) (n + 4) = 7$ ，则 $n =$ ．

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15. 如图，▱ $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 在 $B C$ 的延长线上，连接 $A E$ ， $A F$ ，分别与 $C D$ 交于 $G$ ， $H$ ，若 $B C = 4 C E = 4$ ， $A G = 2.4$ ， $A H = F H$ ，则 $∠ H A G$ 与 $∠ H A D$ 的大小关系是．

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16. 如图，经过 $(2,0)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴有个交点的横坐标在 $0$ 与 $1$ 之间 $.$ 下列结论： $① a b c < 0$ ； $② 2 a > c$ ； $③ a + 2 b + 4 c > 0$ ； $④ \frac{b}{a} + \frac{4 a}{b} + 4 < 0 .$ 正确的有．

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三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 化简： $(\frac{2 a^{2} + 2 a}{a^{2} - 1} - \frac{a^{2} - a}{a^{2} + 1 - 2 a}) \div \frac{2 a}{a + 1}$ ．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $B C$ 上一点， $∠ B = ∠ A E D = ∠ C$ ， $∠ E A D = ∠ E D A .$ 求证： $A B + C D = B C$ ．

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19. 为全面增强中学生体质健康，掌握多项活动要领，每月课外活动选择一项侧重训练 $. A .$ 跳绳； $B .$ 篮球； $C .$ 排球； $D .$ 足球 $.$ 某校开学初共有 $100$ 名男生选择了 $A$ 项目，两周后从这 $100$ 名男生中随机抽取了 $30$ 人在操场进行测试，并将他们的成绩 $x ($ 个 $/ m i n)$ 绘制成频数分布直方图．

(1)、若抽取的同学的测试成绩 $x$ 落在 $160 \leq x < 165$ 这一组的数据为 $160$ ， $162$ ， $161$ ， $163$ ， $162$ ， $164$ ，则这组数据的中位数是，众数是；

(2)、根据题中信息，估计选择 $B$ 项目的男生共有人，扇形统计图中 $D$ 项目所占的圆心角为度；

(3)、学校准备在不低于 $175 ($ 个 $/ m i n)$ 的组中推荐 $2$ 名参加全区的跳绳比赛，请用树状图或列表法求其中的甲和乙同时被选中的概率．

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} + 4 m = 0$ ，求 $m$ 的值．

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21. 如图，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一支与直线 $y = - \frac{1}{4} x$ 交于 $A (- 4, m)$ ，与直线 $A B$ 另一交点为 $B$ ，直线 $A B$ 与两坐标轴分别交于 $C$ ， $D$ ．

(1)、求双曲线的解析式；

(2)、作 $A E ⊥ x$ 轴于 $E$ ， $B F ⊥ y$ 轴于 $F$ ，当 $B F = \frac{3}{2}$ 时，比较 $△ A C E$ 与 $△ B D F$ 面积的大小．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A E ⊥ B C$ 于 $E$ ， $B A$ 平分 $∠ E B D$ ．

(1)、 $A E$ 是否为 $⊙ O$ 的切线，请证明你的判断；

(2)、若 $A B = \sqrt{5} B E$ ，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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23. 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出 $20$ 件，每件盈利 $40$ 元 $.$ 为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利 $.$ 市场调研认为，若每件降价 $1$ 元，则平均每天就可多售出 $2$ 件．

(1)、若活动期间平均每天的销售量为 $38$ 件，求每件春装盈利是多少元？

(2)、要想平均每天销售这款春装能盈利 $1200$ 元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？

(3)、平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？

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24. 如图，矩形 $A B C D$ 具有下列特征：在边 $A B$ 上取点 $E$ ，连接 $D E$ ， $C E$ ，当 $D E$ 平分 $∠ A D C$ 时，将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 翻折，点 $B$ 恰在线段 $D E$ 上．

(1)、这样的矩形，长 $A B$ 与宽 $A D$ 之比为；

(2)、如图 $2$ ，连接 $A F$ 并延长交 $C E$ 于 $G$ ，判断 $△ E F G$ 的形状并证明；

(3)、在图 $2$ 中，有无与 $△ A E G$ 相似的三角形？并证明你的结论．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3,0)$ ， $B (1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $1$ ，点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $P E / / x$ 轴交直线 $A C$ 于点 $E$ ，作 $P F / / y$ 轴交直线 $A C$ 于点 $F$ ，求 $E$ ， $F$ 两点间距离的最大值；

(3)、如图 $2$ ，连接 $B C$ ，在抛物线上求出点 $Q$ ，使 $∠ Q A C + ∠ O C B = 45 °$ ．

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