浙江省杭州市富阳区2024年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-20 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各数中，最小的是( )

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $3$

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2. 下列立体图形的主视图为三角形的是( )

A、 B、 C、 D、

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3. $△ A B C$ 在正方形网格中的位置如图所示，则 $t a n ∠ C A B$ 的值为( )

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 下列计算正确的是( )

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2$ C、 $(- 2 a)^{3} = - 8 a^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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5. 如图，将一块含有 $60 °$ 的直角三角板放置在两条平行线上，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 为( )

A、 $60 °$
B、 $40 °$
C、 $30 °$
D、 $20 °$

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6. 如图，四边形 $O A B C$ 为菱形 $.$ 若 $O A = 2$ ， $∠ A O C = 45 °$ ，则点 $B$ 的坐标为( )

A、 $(2 + \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(2 - \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $(- 2 + \sqrt{2}, \sqrt{2})$ D、 $(- 2 - \sqrt{2}, \sqrt{2})$

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7. 在正数范围内定义一种新运算“ $※$ ”，其运算规则为 $a ※ b = 3 (a + b) - 5 a b$ ，根据这个规则，方程 $x ※ (x + 1) = - 1$ 的解是( )

A、 $x = \frac{4}{5}$ B、 $x = 1$ C、 $x = - \frac{4}{5}$ 或 $x = 1$ D、 $x = \frac{4}{5}$ 或 $x = - 1$

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8. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于 $D$ ，连接 $O D$ ， $A D$ ，则图中阴影部分面积为( )

A、 $16 π - 32$
B、 $8 π - 16$
C、 $4 π - 8$
D、 $4 π - 4$

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9. 若点 $A (- 4, a)$ ， $B (1, b)$ ， $C (3, c)$ 都在反比例 $y = \frac{k^{2} + 1}{x} (k$ 为实数 $)$ 的图象上，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 大小关系正确的是( )

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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10. 如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ 米， $B C = 3$ 米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为( )

A、 $\frac{60}{37}$ B、 $\frac{60}{17}$ C、 $\frac{12}{7}$ D、 $\frac{15}{8}$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 因式分解：x²-4=

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12. 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同 $.$ 从袋中随机取出一个球是黄球的概率为 $0.4$ ，若袋中有 $12$ 个白球，则布袋中黄球可能有个 $.$

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13. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，弦 $C D / / A B$ ， $C D = 8$ ，弦 $C D$ 与直径 $A B$ 之间的距离为 $3$ ，则 $A B =$ ．

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14. 小健原有存款 $50$ 元，小康原有存款 $80$ 元：从这个月开始，小健每个月存 $18$ 元零花钱，小康每个月存 $12$ 元零花钱，设经过 $x$ 个月后，小健的存款超过小康 $.$ 可列不等式为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C < A C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，连接 $D E$ ，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B_{1} .$ 若点 $B_{1}$ 刚好落在边 $A C$ 上，且 $∠ C B_{1} E = 30 °$ ， $C E = m$ ，则 $B C$ 的长为 $. ($ 用含 $m$ 的代数式表示 $)$

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)$ 经过 $A (2 n + 3 ， y_{1}) ， B (n - 1 ， y_{2})$ 两点，若 $A ， B$ 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $n$ 的取值范围是

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算：

(1)、 $| - \frac{1}{4} | - 2^{- 2}$ ；

(2)、 $(x + 2)^{2} - x (x + 4)$ ．

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18. 先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程： $\frac{3}{x^{2} - 4} - \frac{1}{2 - x} = - \frac{6}{x + 2}$
解：两边同乘 $x^{2} - 4$ 得： $3 - (x + 2) = - 6 (x - 2) ①$
去括号得： $3 - x - 2 = - 6 x + 12 ②$
移项得： $- x + 6 x = 12 - 3 + 2 ③$
解得： $x = \frac{11}{5} ④$

(1)、以上解答有错误，错误步骤的序号是．

(2)、请给出正确的解答过程．

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19. 某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图 $① ②$ 所示的两幅不完整的统计图，已知图 $①$ 中 $A$ ， $E$ 两组对应的小长方形的高度之比为 $2$ ： $1 .$ 请结合相关数据解答以下问题：月消费额分组统计表
组别
月零花钱消费额 $/$ 元

$A$

$10 \leq x < 100$

$B$

$100 \leq x < 200$

$C$

$200 \leq x < 300$

$D$

$300 \leq x < 400$

$E$

$x \geq 400$

(1)、本次调查样本的容量是；

(2)、补全频数分布直方图，并标明各组的频数；

(3)、若该学校有 $2500$ 名学生，请估计月消费零花钱不少于 $300$ 元的学生的数量．

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20. 如图，已知 $A E = C F$ ， $A E / / C F$ ， $B E = D F$ ．

(1)、求证： $△ A E D$ ≌ $△ C F B$ ；

(2)、连结 $A B$ ， $C D$ ，那么 $A B$ ， $C D$ 相等吗？请说明理由．

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21. 食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐 $.$ 经调查发现，每天开餐时，约有 $400$ 人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列 $.$ 食堂目前开放了 $4$ 个售餐窗口 $($ 规定每人购餐 $1$ 份 $)$ ，每分钟每个窗口能出售午餐 $15$ 份，前 $a$ 分钟每分钟有 $40$ 人进入食堂排队购餐 $.$ 每一天食堂排队等候购餐的人数 $y ($ 人 $)$ 与开餐时间 $x ($ 分钟 $)$ 的关系如图所示，

(1)、求 $a$ 的值．

(2)、求开餐到第 $7$ 分钟时食堂排队购餐等候的人数．

(3)、若要在开始售餐 $7$ 分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？

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22. 已知二次函数 $y = a (x - 1) (x - 3)$ 图象过点 $(4, m)$ ， $(p, n)$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $a$ 的值．

(2)、若 $m > n > 0$ ，求 $p$ 的取值范围．

(3)、求证： $a m + a n > 0$ ．

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23. 综合与实践
【问题情境】如图，在四边形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是线段 $B C$ 上一点， $∠ A P D = 90 °$ ， $A P = P D$ ．

(1)、【性质初探】如图 $1$ ，当 $. ∠ B = ∠ C = 90 °$ 时，猜想 $A B$ ， $C D$ ， $B C$ 三条线段存在的数量关系并证明．

(2)、【类比再探】如图 $2$ ，延长 $B A$ ， $C D$ 交于点 $E$ ，当 $A B ⊥ C D$ ， $∠ B = 30 °$ 时，求 $\frac{A B + C D}{B C}$ 的值．

(3)、【问题解决】如图 $2$ ，延长 $B A$ ， $C D$ 交于点 $E$ ，当 $A B ⊥ C D$ ， $∠ B = α$ 时，用含 $α$ 的代数式表示 $\frac{A B + C D}{B C}$ 的值．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是直线 $A B$ 上方的 $⊙ O$ 上一点 $.$ 点 $M$ 是 $△ A B C$ 的内心 $.$ 连结 $A M$ ， $B M$ ， $C M$ ，延长 $C M$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

(1)、若 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 的长．

(2)、求 $∠ A M B$ 的度数．

(3)、当点 $C$ 在直线 $A B$ 上方的 $⊙ O$ 上运动时，求证： $D M = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ．

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组别	月零花钱消费额 $/$ 元
$A$	$10 \leq x < 100$
$B$	$100 \leq x < 200$
$C$	$200 \leq x < 300$
$D$	$300 \leq x < 400$
$E$	$x \geq 400$