河北省沧州市盐山县庆云镇2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-20 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，若 $∠ C = 100 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、100° B、80° C、120° D、60°

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2. 下列各数中与 $\sqrt{7}$ 的积为有理数的是（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $7 - \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{7} - 7$ D、 $- \sqrt{7}$

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3. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $m = \sqrt{3}$ ， $n = \sqrt{5}$ ，则 $(\sqrt{\frac{15 m^{2}}{n^{2}}}) =$ （）

A、5 B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得（）

班级八（1）班姓名嘉嘉得分____

判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”．

每题20分，共100分．

（1）若 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则 $x > 3$ ．（√）

（2）矩形的对角线互相垂直平分．（√）

（3）平行四边形是轴对称图形．（√）

（4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13．（√）

（5）对角线相等的菱形是正方形．（√）

A、20分 B、40分 C、60分 D、80分

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7. 两个矩形的位置如图所示，若 $∠ 1 = 130 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、40° B、45° C、50° D、55°

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8. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为（）

A、 $- 1 - \sqrt{5}$ B、 $- 1 + \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $1 - \sqrt{5}$

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9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（）

A、（1）处可填 $∠ A = 90 °$ B、（2）处可填 $A D = A B$ C、（3）处可填 $A D = C B$ D、（4）处可填 $∠ A = 90 °$

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10. 观察数据并寻找规律： $\sqrt{2}$ ，－2， $\sqrt{6}$ ， $- 2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ， …则第2024个数是（）

A、 $17 \sqrt{14}$ B、 $- 17 \sqrt{14}$ C、 $4 \sqrt{253}$ D、 $- 4 \sqrt{253}$

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11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为 $(4, 5)$ ，则B点的坐标为（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 2.5)$ D、 $(0, 2)$

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12. 如图，在正方形ABCD中，点E ， G分别在AD ， BC边上，且 $A E = 3 D E$ ， $B G = C G$ ，连接 $B E$ 、 $C E$ ， EF平分 $∠ B E C$ ，过点C作 $C F ⊥ E F$ 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为8，则GF的长度是（）

A、 $5 - \sqrt{3}$ B、 $5 - \sqrt{17}$ C、 $5 - 2 \sqrt{3}$ D、 $5 - 2 \sqrt{17}$

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二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分）

13. 写出一个正整数n ，使 $\sqrt{2 n}$ 是最简二次根式，则n可以是．

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14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ．已知 $∠ A O B = 120 °$ ， $A B = 3$ ，则BC的长为．

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15. 如图，淇淇由A地沿北偏东50°方向骑行8km至B地，然后再沿北偏西40°方向骑行6km至C地，则A ， C两地之间的距离为km．

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16. 如图，E ， F分别是 $▱ A B C D$ 的边AB ， CD上的点，AF与DE相交于点P ， BF与CE相交于点Q ．若 $△ A P D$ 的面积为2， $△ B Q C$ 的面积为4， $▱ A B C D$ 的面积为26，则阴影部是的面积为．

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三、解答题（本大题共8题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在算式“ $(\sqrt{○} - \sqrt{12}) □ (- \sqrt{3})$ ”中，“○”表示被开方数，“□”表示“＋”“－”“×”“÷”中的某一个运算符号．

(1)、当“□”表示“－”时，运算结果为 $2 \sqrt{3}$ ，求“○”表示的数．

(2)、如果“○”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数．

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18. 如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且 $A F = \frac{1}{4} A D$ ．求证 $△ F E C$ 是直角三角形．

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19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， $A C = \sqrt{3} - 1$ ， $B D = \sqrt{3} + 1$ ，请分别求菱形ABCD的面积和周长．

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20.

琳琳在做数学作业时，因钢笔漏水，不小心将部分字迹污染了，部分作业过程如下：如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是AB的中点．求证： $C D = \frac{1}{2} A B$ ．

证明：如图2，取BC的中点E ，连接DE ．

∵D是AB的中点，E是BC的中点，

∴

……

请你帮助琳琳重新把缺失的证明过程补充完整．

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21. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k ， k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．

(1)、当 $k = 14$ 时，写出这一组勾股数．

(2)、证明“罗士琳法则”的正确性．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，F是AB上一点连接CF ，过点A作 $A D ∥ F C$ ， E是AC的中点，连接FE并延长，交AD于点D ，连CD ．

(1)、求证四边形AFCD是平行四边形．

(2)、若 $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $B F = 1$ ， $∠ D C B = 135 °$ ，请直接写出FC的长度．

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23. 【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A ， B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A ， B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长．
【方法应用】

(1)、如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．

(2)、如图4，长方体的棱长 $A B = B C = 6 c m$ ， $A A_{1} = 14 c m$ ，假设昆虫甲从盒内顶点 $C_{1}$ 开始以 $1 c m / s$ 的速度在盒子的内部沿棱 $C_{1} C$ 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲?

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24. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、如图1，将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为 $D^{'}$ ，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F ．
①求证： $A E = A F$ ．
②若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求折痕EF的长．

(2)、如图2，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点C、D分别落在点 $C^{'}$ ， $D^{'}$ 处，若 $A B = 3$ ， $A D = 6$ ， $B F = 1$ ，连接 $C^{'} E$ ，当点E为AD的三等分点时，求 $\frac{E F}{C^{'} E}$ 的值．

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