河北省保定市莲池区2024年中考数学一模试题

试卷更新日期：2024-05-20 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列四个数中，与 $- \frac{1}{2}$ 个的和为0的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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2. 若 ${(x - 3)}^{2} = x^{2}$ ____ $+ 9$ ，则“____”处是（）

A、 $+ 3 x$ B、 $- 3 x$ C、 $+ 6 x$ D、 $- 6 x$

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3. 下列四个几何体的俯视图中与其他三个不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于 $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ 的变形，不正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{4}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 + 8}$ D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}$

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5. 如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时．指针落在蓝色区域的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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6. 嘉淇想说明“若三条线段a ， b ， c满足 $a + b > c$ ，则这三条线段首尾顺次相接能组成三角形，”是假命题而举反例：其中 $a = 1$ ， $b = 3$ ，若所举反例正确，则c的值可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 下列图形一定可以拼成平行四边形的是（）

A、两个直角三角形 B、两个等边三角形 C、两个等腰直角三角形 D、两个全等三角形

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8. 如图，在△ABC中， $∠ A = 40 °$ ，点D在BC的延长线上，且 $∠ A C D = 100 °$ ，过点B作射线BF交边AC于点E ，则 $∠ A E F$ 的度数可能为（）

A、30° B、55° C、105° D、120°

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9. 若a ， b互为倒数，且 $a \neq b$ ，则分式 $\frac{a b^{2}}{a - b} - \frac{a^{2} b}{a - b}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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10. 已知△ABC ， $A C > B C > A B$ ， $∠ C = 45 °$ ．用尺规在边AC上求作一点P ，使 $∠ P B C = 45 °$ ．下图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（）

A、甲、乙的作图均正确 B、甲、乙的作图均不正确 C、只有甲的作图正确 D、只有乙的作图正确

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11. 如图，在平地上种树时要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m．若在坡度为1：2.5的山坡AB上种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（）

A、 $\sqrt{29}$ m B、2.5m C、5m D、10m

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12. 已知 $a = 1.2 \times 1 0^{- 2}$ ， $b = 1.2 \times 1 0^{- 3}$ ，则数a ， b在数轴上的位置大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13. 若 $2^{n} \cdot 2^{n} = 2^{n} + 2^{n} + 2^{n} + 2^{n}$ ，则n的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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14. 如图，在△ABC中， $A B = A C$ ，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C-B-A运动到点A ，其中BP（cm）的长与运动时间t（s）的关系如图5-2所示，则△ABC的周长为（）

A、13cm B、23cm C、36cm D、39cm

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15. 如图，在扇形纸片OAB中， $O A = 10$ ， $∠ A O B = 90 °$ ， OA在桌面内的直线1上，将扇形OAB沿1按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OB第一次落在1上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（）

A、10π B、12π C、15π D、20π

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16. 某单位现有一块形状为三角形的建筑用地，其中 $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 5$ ．现单位要求施工方将△ABC扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地），要求原来位于A ， B ， C三个顶点的三棵树在正方形的边上．甲、乙各设计出一种方案关于结论I，II，下列判断正确的是（）
图1 图2
结论I：甲所设计的如图1所示的正方形的面积为16；
结论II：乙所设计的如图2所示的正方形的面积比甲的小，其面积为 $\frac{256}{17}$

A、结论I、II都对 B、结论I、II都不对 C、只有结论I对 D、只有结论II对

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）

17. 若关于x的方程 $m x + x = 4$ 的解是整数，写出一个满足条件的正整数m的值：．

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18. 现有若干张如图1所示的边长均为1cm的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点一周拼成一个平面图案，如图2所示．
图1 图2

(1)、除了图2，还能再拼出种不同的图案；

(2)、所拼图案中最小的周长是cm．

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19. 在平面直角坐标系中，点 $M (2, m)$ 和 $N (8, n)$ 在抛物线 $y = x^{2} + 2 b x$ 上，设该抛物线的对称轴为直线 $x = t$ ．

(1)、当 $m = n$ 时，b的值为；

(2)、若 $m n < 0$ ，则满足条件的整数t有个．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 已知算式“ $(- 2) \times 4 - 8$ ”．

(1)、嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为 $- 11$ ，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数；

(2)、洪淇把运算符号“×”错看成了“＋”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？

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21. 在一次体操比赛中，6个裁判员对某运动员的打分数据（动作完成分）分别为：8.8，9.5，9.6，9.6，9.7，9.8．对打分数据有以下两种处理方式．
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计．
平均数
中位数
方差
9.5
a
$\frac{8}{75}$
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计．
平均数
中位数
方差
b
9.6
c
（方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + ⋯ + (x_{n} - \bar{x})^{2}]$ ）

(1)、分别求上述表格中a ， b ，的值；

(2)、你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判断并说明理由．

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22. 观察下列式子，定义一种新运算： $5 # 3 = 2 \times 5 - 3$ ； $3 # (- 1) = 2 \times 3 + 1$ ； $- 4 # (- 3) = 2 \times (- 4) + 3$ ．

(1)、这种新运算是： $x # y =$ （用含x ， y的代数式表示）；

(2)、若 $m # (- 3) > 3 # m$ ，求m的最小整数值；

(3)、若a ， b均为整数，试判断 $(a # b - b # a) # 3 a$ 是否能被3整除，并说明理由．

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23.

(1)、【操作应用】实践小组用四根木条钉成“筝形”仪器，如图所示，其中 $A B = A D$ ， $B C = D C$ ，相邻两根木条的连接处是可以转动的．连接AC ，求证：AC平分∠BAD；

(2)、【实践拓展】
实践小组尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平．如图，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B ， D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C ，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由；

(3)、如图，在△MNP中， $∠ M = 90 °$ ， $∠ N = 30 °$ ， E ， F分别是边MN ， NP上的动点．当四边形MEFP为“筝形”时，∠NFE的度数为．

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24. 如图10，在平而直角坐标系中，记函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象为G ，直线 $l : y = - \frac{1}{2} x + b$ 经过点 $A (2, 3)$ ，与图象G交于B ， C两点．

(1)、求b的值，并在图10中画出直线l；

(2)、当点B与点A重合时，点 $P (m, n)$ 在第一象限内且在直线l上，过点P作PQ⊥x轴于点Q ．
①求点C的坐标；
②连接OP ．若 $S_{△ O P Q} > 3$ ，求m的取值范围；

(3)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W ．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数．

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25. 某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）x年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产货用）
年销售量x（万件）
…
20
40
…
总销售额z（万元）
…
560
1040
…

(1)、求y与x以及z与x之间的函数解析式；

(2)、若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围；

(3)、受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元．

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26. 如图下图所有图中，AB是半圆O的直径，且 $A B = 4$ ，点C以每秒 $\frac{π}{2}$ 个单位长的速度从点B沿 $\overset{⌢}{A B}$ 运动到点A ．

(1)、连接AC ， BC ．求图12-1中的阴影部分面积和的最小值S；

(2)、如图，过点C作半圆O的切线PQ ，点P在射线AB上，且 $P Q = 3$ ，过点P在射线AB的上方作PH⊥PQ ．且 $P H = 1$ ．当点Q与点C重合时，求点H到射线AB的距离；

(3)、如图1、图2，在点C运动过程中，将半圆O沿BC折叠，BC与AB交于点D ．
图1 图2
①连接CD ．若 $∠ A B C = 25 °$ ，求∠BCD的度数；
②当点D落在半径OA上（包括端点O ， A）时，求点C运动的时长；
③如图12-4，连接OC ，过点A作AE⊥AB ，与OC的延长线交于点E ，延长BC交AE于点F ，连接CD ．当 $A E = d (d > 0)$ 时，请直接用含d的式子表示 $\frac{C D}{B C}$ ．

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年销售量x（万件）	…	20	40	…
总销售额z（万元）	…	560	1040	…

平均数	中位数	方差
9.5	a	$\frac{8}{75}$

平均数	中位数	方差
b	9.6	c