新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试题

试卷更新日期：2024-05-17 类型：期中考试

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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，请把答案填涂在答题卷中相应的方格)

1. 下列各式是二次根式的是 ( )

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{- 4}$ C、 $\sqrt{{- 3}^{2}}$ D、 $\sqrt[3]{8}$

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2. 下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是 ( )

A、2， 3， 4 B、3， 4， 5 C、6， 8， 11 D、5， 12， 12

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3. 在▱ABCD中， ∠B=45° ，则∠A= ( )

A、22.5° B、45° C、90° D、135°

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4. 下列计算正确的是 ( )

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$ D、 $5 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{5} = 10$

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5. 如图，以直角三角形的三边为边长作三个正方形，字母B所代表的正方形的面积是 ( )

A、12 B、13 C、144 D、194

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6. 下列说法正确的有( )个
①矩形的对角线互相平分且相等，②有一组邻边相等的四边形是菱形，③平行四边形的对角相等，④有一个角是直角的菱形是正方形

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 请计算式子 $\sqrt[3]{8} - 2 \times \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的值( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $4 - \sqrt{2}$ C、1 D、 $2 - \sqrt{2}$

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8. 如图所示，已知DE是△ABC的中位线， AB=6， AC=10，点F是DE延长线上的一点，且∠AFC=90° ，求线段EF的长为 ( )

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卷中相应的横线上)

9. 要使二次根式， $\sqrt{x - 4}$ 有意义，则 x应满足的条件是.

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10. 如图，一场大风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量 $A B = 2 m,$ 则树高为米

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11. 已知a、b、c是. $△ A B C$ 的三边长且c=5，a、b满足关系式 $\sqrt{a - 4} + {(b - 3)}^{2} = 0,$ 则△ABC的形状为三角形.

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12. 已知菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，求菱形 ABCD 的面积为.

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13. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = 6, A B = 10,$ D为BC上一点，将 AC 沿AD折叠，使点C落在AB上点C₁处，则CD的长为.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °, A B = 6, A C = 8,$ P为边BC上一动点 (且点P不与点B、C重合) ， PE⊥AB， PF⊥AC于F。则 FE的最小值为.

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三、解答题(本大题共8小题，共50分，请把答案填在答题卷中相应的位置)

15. 计算

(1)、 $\sqrt{18} + \sqrt{2} - \sqrt{8}$

(2)、 $\sqrt{27} \div \frac{\sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) .$

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16. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 2$ ，求 $\frac{\sqrt{x + 1}}{y - 1}$ 的值．

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17. 已知：如图， $▱ A B C D$ 中， E， F是AB， CD上两点，且 $A E = C F .$ 求证： $D E = B F .$

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18. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．

(1)、求△ABC的面积；

(2)、判断△ABC是什么形状，并说明理由．

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19. 如图所示，在四边形ABCD中， $A B = A D,$ AC是 $∠ B A D$ 的角平分线， $A D ‖ C B .$
求证：四边形ABCD是菱形

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20.
一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？

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21. 课本再现：
思考：
我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗?
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形

(1)、定理证明：为了证明该定理，小红同学画出了图形(如图1)，并写出了 “已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在 $▱ A B C D$ 中，对角线. $A C = B D$
求证：四边形ABCD是矩形

(2)、如图2，若点E为矩形ABCD边CB延长线上一点，且 ED 平分. $∠ A E C, ∠ A E C = 60 °,$ ，若AE=3. 求EC的长为多少?

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22. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：
$① \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1;$ $② \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2};$
$③ \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}; \dots .$
以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：

(1)、利用你观察到的规律，化简 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$

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