浙江省宁波市南三县（奉化区、宁海县、象山县）2024年数学初中毕业生学业诊断性考试一模试卷

试卷更新日期：2024-05-17 类型：中考模拟

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一、选择题（每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1. $- 2024$ 的倒数是（）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $3 a \cdot 2 a = 5 a^{2}$ B、 $3 a - a = 2$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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3. 2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（）

A、 $126 \times 1 0^{12}$ B、 $1.26 \times 1 0^{14}$ C、 $1.26 \times 1 0^{13}$ D、 $12.6 \times 1 0^{13}$

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4. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数
5
15
9
6
5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（）

A、70分，80分 B、70分，75分 C、60分，80分 D、70分，85分

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - x > - 3 \\ 3 x - 2 \leq 4 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x < 5$ C、 $2 \leq x < 5$ D、无解

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？”译文为：现有重量相等的黄金9枚，重量相等的白银11枚，称重后发现黄金和白银的重量相等，互相交换一枚，则金方轻13两。问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 11 x = 9 y \\ 10 x + y - 13 = 8 y + x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 9 x = 11 y \\ 8 x + y - 13 = 10 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 11 x = 9 y \\ 10 x + y + 13 = 8 y + x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 9 x = 11 y \\ 8 x + y + 13 = 10 y + x \end{array}$

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8. 如图，在三角形ABC中，过点B ， A作 $B D ⊥ A C$ ， $A E ⊥ B C$ ， BD ， AE交于点F ，若 $∠ B A C = 45 °$ ， $A D = 5$ ， $C D = 2$ ，则线段BF的长度为（）

A、2 B、 $3 \sqrt{2} - 2$ C、3 D、 $\frac{5}{2}$

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9. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + 2 m - 4$ ，下列说法中正确的个数是（）
①当 $m = 0$ 时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点 $A (m - 2, y_{1})$ ，点 $B (m + 1, y_{2})$ 在此函数图象上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；
③若此抛物线与直线 $y = x - 4$ 有且只有一个交点，则 $m = - \frac{1}{4}$ ；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线 $y = 2 x$ 的距离都等于 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在 $□ A B C D$ 中，点O为对角线BD上一点，过点O作 $E F ∥ A D$ ， $G H ∥ A B$ ，若要求出 $△ A E O$ 的面积，则只需知道（）

A、 $□ E B G O$ 与 $□ H O F D$ 的面积之积 B、 $□ E B G O$ 与 $□ H O F D$ 的面积之商 C、 $□ E B G O$ 与 $□ H O F D$ 的面积之和 D、 $□ E B G O$ 与 $□ H O F D$ 的面积之差

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 分解因式： $x^{2} - 3 x =$ .

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12. 二次根式 $\sqrt{m - 3}$ 有意义，则m的取值范围是．

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13. 一个不透明的袋子中只装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，1个红球，1个黑球．从袋中随机摸出一个小球是白球的概率是．

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14. 若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为 $90 °$ ，则该圆锥的底面半径长为．

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15. 如图，在矩形ABCD中， $AD = 5$ ， $AB = 8$ ，点E为射线DC上一个动点，把 $△ ADE$ 沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为．

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16. 如图，直线AB与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于A ， B两点，与y轴相交于点C ，点D是x轴负半轴上的一点，连结CD和AD ， AD交y轴于点E ，且 $A C = A E$ ，若 $\frac{C A}{A B} = \frac{3}{4}$ ， $△ C D E$ 的面积为6，则k的值为．

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三、解答题（共66分）

17.

(1)、计算： $(1 - \sqrt[3]{27})^{0} + | - 3 | - \sqrt{49}$

(2)、化简： $(x + 1) (x - 1) + 2 x (1 - x)$

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18. 如图是由完全相同的小正方形组成的 $6 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹，用虚线表示）．

(1)、在图1中的边AB上画出点D ，使得 $B D = 3 A D$ ．

(2)、在图2中的边AC上画出点E ，使得 $A E = B E$ ．

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19. 某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，随机调查了一部分学生进行问卷测试，并将测试结果按等第（记90分及以上为A等，80分及以上90分以下为B等，70分及以上80分以下为C等，70分以下为D等）绘制成如图1，图2两个不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、参与本次调查的学生人数为，图1中m的值是．

(2)、补全条形统计图，并计算测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数．

(3)、结合调查的结果，估计全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数．

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20. 2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身BC为1.1米，下半身AB为0.6米，下半身与水平面的夹角 $∠ B A D = 70 °$ ，与上半身的夹角 $∠ A B C = 130 °$ ．（参考数据： $s i n 20 ° \approx 0.34$ ， $c o s 20 ° \approx 0.94$ ， $t a n 20 ° \approx 0.36$ ）

(1)、此时舞者的垂直高度CD约为多少米．

(2)、如图3，下半身与水平面的夹角不变，当AB与BC在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？

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21. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：

(1)、快车的速度为km/h，C点的坐标为．

(2)、慢车出发多少小时后，两车相距200km．

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22. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ A B C$ 的平分线BE交AD于点E ， $A F ⊥ B E$ 交BE于点F ，交BC于点G ，连结EG ， CF ．

(1)、判断四边形AEGB的形状，并说明理由．

(2)、若 $t a n ∠ A B C = \sqrt{3}$ ， $C D = 8$ ， $A D = 10$ ，求线段CF的长．

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1	我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE ， FG ，相关数据如图2所示，其中 $D E = B C$ ， $O F = D F = B D$ ．
素材2	已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1	确定大棚形状	在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	尝试改造方案	当 $C C^{'} = 1$ 米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3	拟定最优方案	只考虑经费情况下，求出 $C C^{'}$ 的最大值．

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24. 定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图1，在四边形ABCD中，若 $S_{△ A B C} = S_{△ A D C}$ ，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．

(1)、判断：若是真命题请在横线上填“正确”，若是假命题请在横线上填“错误”．
①平行四边形是倍分四边形.
②梯形是倍分四边形.

(2)、如图1，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若 $A C ⊥ A B$ ， $A B = 3$ ， $A D = D C = 5$ ，求BC的长；

(3)、如图2，在△ABC中， $A B = B C$ ，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M ，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求 $s i n ∠ A C B$ 的值；
②如图3，连结BM ， CN交于点D ，取OC中点F ，连结MF交NC于E ，若 $O F = 3$ ，求DE的长．

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成绩（分）	60	70	80	90	100
人数	5	15	9	6	5