浙江省湖州市2024年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2024-05-17 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $- 3$ ， $0$ ， $3$ ， $- 1$ 这四个数中，最小的数是( )

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $3$ D、 $- 1$

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2. 龙之梦景区在 $2023$ 年全年接待游客约 $14500000$ 人次 $.$ 为读写方便，可将数 $14500000$ 用科学记数法表示为( )

A、 $145 \times 10^{5}$ B、 $1.45 \times 10^{6}$ C、 $14.5 \times 10^{6}$ D、 $1.45 \times 10^{7}$

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3. 第 $19$ 届亚运会女子排球决赛中，中国队战胜日本队，获得了冠军 $.$ 领奖台的示意图如图所示，则此领奖台的主视图是( )

A、 B、 C、 D、

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4. 下列说法正确的是( )

A、“明天下雨”是不可能事件 B、为了解某型号车用电池的使用寿命，采用全面调查的方式 C、某游戏做 $1$ 次中奖的概率是 $\frac{1}{6}$ ，那么该游戏连做 $6$ 次就一定会中奖 D、一组数据 $2$ ， $3$ ， $4$ ， $3$ ， $7$ ， $8$ ， $8$ 的中位数是 $4$

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5. 下列运算中，正确的是( )

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 $a^{8} \div a^{4} = a^{4}$ D、 $(2 a^{2})^{3} = 6 a^{6}$

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6. 甲煤场有煤 $390$ 吨，乙煤场有煤 $96$ 吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的 $2$ 倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？若设从甲煤场运 $x$ 吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是( )

A、 $390 - x = 2 (96 + x)$ B、 $390 + x = 2 (96 - x)$ C、 $390 - x = 2 \times 96$ D、 $390 - 2 x = 96$

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7. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形 $A B C D$ 是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变 $A C$ 的长来调节 $B D$ 的长 $.$ 已知 $A B = 30 c m$ ， $B D$ 的初始长为 $30 c m$ ，如果要使 $B D$ 的长达到 $36 c m$ ，那么 $A C$ 的长需要缩短( )

A、 $6 c m$ B、 $8 c m$ C、 $(30 \sqrt{3} - 36) c m$ D、 $(30 \sqrt{3} - 48) c m$

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8. 如图，小明想利用“ $∠ A = 30 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 4 c m$ ”这些条件作 $△ A B C .$ 他先作出了 $∠ A$ 和 $A B$ ，在用圆规作 $B C$ 时，发现点 $C$ 出现 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 两个位置，那么 $C_{1} C_{2}$ 的长是( )

A、 $3 c m$ B、 $4 c m$ C、 $2 \sqrt{5} c m$ D、 $2 \sqrt{7} c m$

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9. 向高为 $50 c m$ 的空花瓶 $($ 形状如图 $)$ 中匀速注水，注满为止，则水面高度 $y (c m)$ 与注水时间 $x (s)$ 的函数关系的大致图象是( )

A、 B、 C、 D、

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10. 对于关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根的情况，有以下四种表述：
$①$ 当 $a < 0$ ， $b + c > 0$ ， $a + c < 0$ 时，方程一定没有实数根；
$②$ 当 $a < 0$ ， $b + c > 0$ ， $b - c < 0$ 时，方程一定有实数根；
$③$ 当 $a > 0$ ， $a + b + c < 0$ 时，方程一定没有实数根；
$④$ 当 $a > 0$ ， $b + 4 a = 0$ ， $4 a + 2 b + c = 0$ 时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是( )

A、 $①$ B、 $②$ C、 $③$ D、 $④$

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 分解因式： $x^{2} - 2024 x =$ ．

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12. 某校组织研学活动，计划从“太湖溇港景区”“荻港渔村”“东衡游子部落”“江南红村”“五峰山运动村”五个研学基地中随机选一个前往，则选中“太湖溇港景区”的概率是．

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13. 已知圆的半径为 $4 c m$ ，则 $120 °$ 的圆心角所对的弧长为．

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14. 已知 $y$ 是 $x$ 的一次函数，下表列出了部分对应值，则 $m =$ ．

$x$

$0$

$1$

$2$

$y$

$1$

$m$

$5$

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15. 古希腊一位庄园主把一边长为 $a$ 米 $(a > 4)$ 的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加 $4$ 米，相邻的一边减少 $4$ 米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了 $.$ 聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了平方米．

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16. 如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为 $4 \sqrt{2}$ 的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个顶点作圆，则该圆的半径长是．

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三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.

(1)、解方程： $\frac{3 x - 4}{x} = 1$ ；

(2)、解不等式： $- 2 x + 1 > 3$ ．

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18. 如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ C = 50 °$ ，将 $A B$ 沿射线 $B C$ 的方向平移至 $A' B'$ ，使 $B'$ 为 $B C$ 的中点，连结 $A A'$ ，记 $A' B'$ 与 $A C$ 的交点为 $O$ ．

(1)、求证： $△ A O A'$ ≌ $△ C O B'$ ；

(2)、若 $A C$ 平分 $∠ B A A'$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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19. 已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流 $I (A)$ 与电阻 $R (Ω)$ 是反比例函数关系，函数图象如图所示．

(1)、求 $I$ 关于 $R$ 的函数表达式．

(2)、若要求电流 $I$ 不超过 $4 A$ ，则该可变电阻 $R$ 应控制在什么范围？

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20. 某校为增强学生身体素质，开展了为期一个月的跳绳系列活动 $.$ 为了解本次系列活动的效果，校体育组在活动之前随机抽取部分九年级学生进行了一分钟跳绳测试，根据一定的标准将测得的跳绳次数分成 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五个等级，五个等级的赋分依次为 $10$ 分、 $9$ 分、 $8$ 分、 $7$ 分、 $6$ 分，将测试结果整理后，绘制了统计图 $1 .$ 跳绳系列活动结束后，体育组再次对这部分学生进行跳绳测试，以相同标准进行分级和赋分，整理后绘制了统计图 $2$ ．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、求被抽取的九年级学生人数，并补全统计图 $2$ ．

(2)、若全校 $600$ 名九年级学生全部参加了跳绳活动及一分钟跳绳测试，测试分级和赋分标准不变 $.$ 请通过计算，估计这 $600$ 名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过 $9$ 分 $($ 含 $9$ 分 $)$ 有多少人？

(3)、选择一个适当的统计量，通过计算分析，对该校跳绳系列活动的效果进行合理评价．

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21. 用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形 $A B C D$ ， $A B = 16 c m$ ， $D A = 2 c m .$ 该沙发与地面的空隙为矩形 $E F G H$ ， $E F = 55 c m$ ， $H E = 12 c m .$ 拖把杆为线段 $O M$ ，长为 $45 c m$ ， $O$ 为 $D C$ 的中点， $O M$ 与 $D C$ 所成角 $α$ 的可变范围是 $14 ° \leq α \leq 90 °$ ，当 $α$ 大小固定时，若 $O M$ 经过点 $G$ ，或点 $A$ 与点 $E$ 重合，则此时 $A F$ 的长即为沙发底部可拖最大深度．

(1)、如图 $1$ ，当 $α = 30 °$ 时，求沙发底部可拖最大深度 $A F$ 的长 $. ($ 结果保留根号 $)$

(2)、如图 $2$ ，为了能将沙发底部地面拖干净，将 $α$ 减小到 $14 °$ ，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度 $A F$ 的长能否达到 $55 c m$ ？ $(s i n 14 ° \approx 0.24, c o s 14 ° \approx 0.97, t a n 14 ° \approx 0.25)$

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22. 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形．
要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为 $30 c m$ 和 $40 c m$ ；
②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同；
③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大．
甲同学的方案
乙同学的方案
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小；

(2)、请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大 $. ($ 方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长 $.)$

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23. 定义：对于 $y$ 关于 $x$ 的函数，函数在 $x_{1} \leq x \leq x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内的最大值，记作 $M [x_{1}, x_{2}] .$
如函数 $y = 2 x$ ，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 范围内，该函数的最大值是 $6$ ，即 $M [- 1,3] = 6$ ．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 $y = (a - 1) x^{2} - 4 x + a^{2} - 1 (a$ 为常数 $)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ．
①直接写出该函数的表达式，并求 $M [1,4]$ 的值；
②已知 $M [p, \frac{5}{2}] = 3$ ，求 $p$ 的值．

(2)、若该函数的图象经过点 $(0,0)$ ，且 $M [- 3, k] = k$ ，求 $k$ 的值．

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24. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $∠ B$ 是锐角， $A B = 6 \sqrt{2}$ ， $B C = 10 .$ 在射线 $B A$ 上取一点 $P$ ，过 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，过 $P$ ， $E$ ， $C$ 三点作 $⊙ O$ ．

(1)、当 $c o s B = \frac{3}{5}$ 时，
①如图 $1$ ，若 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $P$ ，连结 $C P$ ，求 $C P$ 的长；
②如图 $2$ ，若 $⊙ O$ 经过点 $D$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

(2)、如图 $3$ ，已知 $⊙ O$ 与射线 $B A$ 交于另一点 $F$ ，将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 所在的直线翻折，点 $B$ 的对应点记为 $B'$ ，且 $B'$ 恰好同时落在 $⊙ O$ 和边 $A D$ 上，求此时 $P A$ 的长．

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$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$1$	$m$	$5$

甲同学的方案	乙同学的方案