2025艺考生专用高考数学一轮复习之基本初等函数

试卷更新日期：2024-05-16 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} (x < 1) \\ \log_{2} x (x \geq 1) \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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2. 已知 $a = l o g_{5} 2$ ， $b = l o g_{2} a$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则 $f (3)$ 的值为（）

A、9 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. $2_{}^{- 3}$ ， $2_{}^{\frac{1}{3}}$ ， $s i n \frac{3}{2}$ ， $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$ 四个数中最大的数是( )

A、 $2_{}^{- 3}$ B、 $2_{}^{\frac{1}{3}}$ C、 $s i n \frac{3}{2}$ D、 $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$

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5. 已知 $a = e^{0.1}$ ， $b = 1 - 2 l g 2$ ， $c = 2 - {l o g}_{3} 10$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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6. $2018$ 年 $9$ 月 $24$ 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 $89$ 岁高龄著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在 $1859$ 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数大约可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{l n x}$ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计 $10000$ 以内的素数个数为（）（素数即质数， $l g e \approx 0.43$ ，计算结果取整数）

A、 $1079$ B、 $1075$ C、 $434$ D、 $2500$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} l o g_{2} x, x > 0, \\ f (x + 2), x \leq 0, \end{array}$ 则 $f (- 5) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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8. 实数 $a ， b ， c$ 满足 $\sqrt[3]{c} - \sqrt[3]{b} = 1 ， a = c + l o g_{5} (x^{2} - x + 3) (x \in R)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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二、多项选择题

9. 牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是 $θ_{0} ($ 单位： $℃)$ ，环境温度是 $θ_{1} ($ 单位： $℃)$ ，其中 $θ_{0} > θ_{1}$ 、则经过 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ 将满足 $θ = f (t) = θ_{1} + (θ_{0} - θ_{1}) \cdot e^{- k t} (k \in R$ 且 $k > 0) .$ 现有一杯 $100 ℃$ 的热红茶置于 $10 ℃$ 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是 $($ 参考数值 $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 3 \approx 1.1)$ （）

A、若 $f (3) = 40 ℃$ ，则 $f (6) = 20 ℃$
B、若 $k = \frac{1}{10}$ ，则红茶下降到 $55 ℃$ 所需时间大约为 $6$ 分钟
C、 $5$ 分钟后物体的温度是 $40 ℃$ ， $k$ 约为 $0.22$
D、红茶温度从 $80 ℃$ 下降到 $60 ° C$ 所需的时间比从 $60 ℃$ 下降到 $40 ℃$ 所需的时间多

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10. 若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ， $n$ 、 $m \in N^{*}$ ， $n > 1$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $l o g_{a} (b^{2} - c^{2}) = 2 l o g_{a} b - 2 l o g_{a} c$ B、 $(l o g_{a} 3)^{2} = 2 l o g_{a} 3$ C、 $l o g_{a} \sqrt[n]{b^{m}} = \frac{m}{n} l o g_{a} b$ D、 $l o g_{a} b = - l o g_{a} \frac{1}{b}$

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11. 下列命题是真命题的是（）

A、若函数 $f (x^{3}) = x + 2$ ，则 $f (8) = 4$ B、“ $\forall x \in R ， x^{2} + | x | > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R ， x^{2} + | x | \leq 0$ ” C、函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 为奇函数 D、函数 $f^{'} (x) = a^{x - 100} + l o g_{a} (2 x - 199) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过定点 $(100 ， 1)$

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三、填空题

12. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $4^{a} + 2 a = 3$ ， $l o g_{2} \sqrt[3]{3 b + 1} + b = \frac{2}{3}$ ，则 $a + \frac{3}{2} b =$ ．

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13. $l o g_{2}^{} 3 \cdot l o g_{3} 4 + (\frac{27}{8})^{- \frac{1}{3}} + \sqrt{2 \times \sqrt[3]{8}} =$ ．

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14. 若幂函数 $g (x) = (a^{2} + 5 a + 5) x^{a + 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a =$ .

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四、解答题

15. 已知函数 $f (x) = b + l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(4 ， 1)$ 和 $(1 ， - 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、令 $g (x) = 2 f (x + 1) - f (x)$ ，求 $g (x)$ 的最小值及取最小值时x的值．

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ； $g (x) = f (l o g_{\frac{1}{2}} (9 - x^{2}))$

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、求不等式 $g (x) \leq 1$ 的解集．

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17. 潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是 $θ_{1}$ ℃，环境温度是 $θ_{0}$ ℃，那么t分钟后茶水的温度 $θ$ （单位：℃）可由公式 $θ (t) = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．

(1)、求k的值；

(2)、经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值： $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 3 \approx 1.1$ ）

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m - 1}$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 (a - 1) x + 1$ 在区间 $[0 ， 4]$ 上的最大值为9，求实数 $a$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b ， g (x) = l o g_{a} x$ ，其中 $a > 0 ， a \neq 1 ， a ， b$ 均为实数．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像经过点 $A (0 ， 2) ， B (1 ， 3)$ ，求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，函数 $g (2 x - 1)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上有最小值 $- 1$ ，求实数 $a$ 的值．

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