2025艺考生专用高考数学一轮复习之函数的概念与性质

试卷更新日期：2024-05-16 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} (x < 1) \\ \log_{2} x (x \geq 1) \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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2. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 1, x > 1 \\ a x, x \leq 1 \end{array}$ 在其定义域内是一个单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \frac{2}{3}]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, \frac{2}{3}]$

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3. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1$ 在 $(2, 6)$ 上不单调，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 6)$ B、 $(- \infty, 2] ∪ [6, + \infty)$ C、 $(4, 12)$ D、 $(- \infty, 4] ∪ [12, + \infty)$

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4. 已知对任意实数 $x$ ，有 $f (- x) = - f (x)$ ， $g (- x) = g (x)$ ，且 $x < 0$ 时，导函数分别满足 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，则 $x > 0$ 时，成立的是（）

A、 $f^{'} (x) > 0, g^{'} (x) < 0$ B、 $f^{^{'}} (x) > 0, g^{^{'}} (x) > 0$ C、 $f^{'} (x) < 0, g^{'} (x) < 0$ D、 $f^{^{'}} (x) > 0, g^{^{'}} (x) > 0$

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5. 设函数 $f (x) = \frac{2 x}{x - 2}$ 在区间 $[3, 4]$ 上的最大值和最小值分别为M ， m则 $M + m =$ （）

A、4 B、6 C、10 D、24

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6. 定义在 $(0, + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.给出下列四个函数：
① $f (x) = 1$ ；② $f (x) = x^{2}$ ；③ $f (x) = \sqrt{x}$ ；④ $f (x) = x^{2} + x$ 能被称为“理想函数”的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、
C、 D、

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8. 函数 $f (x) = l n x - \frac{3}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0,1)$ B、 $(1,2)$ C、 $(2,3)$ D、 $(3,4)$

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二、多项选择题

9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）．

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ B、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{| x |}{x} ， x \neq 0 \\ 1 ， x = 0 \end{array}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2 x - 1}$ 与 $g (t) = {(\frac{1}{3})}^{2 t - 1}$

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10. 下列命题中正确的有（）

A、 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则 $m = - 1$ B、 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 2 x)$ 的单调递增区间是 $(1, + \infty)$ C、 $f (x) = \frac{1}{a x^{2} + a x + 1}$ 定义域为 $R$ ，则 $a \in [0,4)$ D、 $f (x) = x + 2 \sqrt{4 - x}$ 的值域是 $(- \infty, 5]$

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11. 下列命题为真命题的有（）

A、函数 $y = l o g_{0.2} (- x^{2} + 4 x - 3)$ 的单调递减区间为 $(2 ， 3)$ B、函数 $y = t a n x + 1$ 的图象关于点 $(k π + \frac{π}{2} ， 1) (k \in Z)$ 对称 C、函数 $y = \sqrt{(x - 1)^{2}}$ 与函数 $y = x - 1$ 是同一个函数 D、函数 $y = s i n^{2} x + c o s x$ 的最小值为-1

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三、填空题

12. 函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足关系式 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (3) - 3 l n x$ ，则 $f^{'} (3)$ 的值为.

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13. 设函数 $f (x) = \frac{x^{3} + {(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值为M，最小值为N，则 ${(M + N - 1)}^{2023}$ 的值为.

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14. 函数 $f (x) = \frac{2 x^{2}}{\sqrt{1 - x}} + l g (3 x + 1)$ 的定义域为.

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四、解答题

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{(- 4)^{2}} + (π - 1)^{0} - (\sqrt[3]{3})^{6} - l n \sqrt{e}$ ；

(2)、求函数f（x）＝ $\sqrt{2^{x} - 1}$ ＋ $\frac{1}{x - 2}$ 的定义域。

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并根据定义证明；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调性，并根据定义证明．

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17. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} + 3 x$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 4]$ 上的最小值和最大值．

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18. 已知 $1 与 3$ 是函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的两个零点

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) \leq 0 ，$ 求 $x$ 的取值范围.

(3)、若 $x$ $[- 2 ， 5]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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19.

(1)、已知 $f (\sqrt{x}) = x - 1$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $f (f (x)) = f (x) + 2$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

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