2025艺考生专用高考数学一轮复习之不等式

试卷更新日期：2024-05-16 类型：一轮复习

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一、选择题

1. “a>b>0”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ， $s i n (A + C) = c o s A s i n C$ ， $S_{△ A B C} = 6$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11}{6} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{11}{12} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{11}{12}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + b x (a > 0, b > 0)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为2，则 $\frac{8 a + b}{a b}$ 的最小值是 $（$ $）$

A、10 B、9 C、8 D、 $3 \sqrt{2}$

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5. $2_{}^{- 3}$ ， $2_{}^{\frac{1}{3}}$ ， $s i n \frac{3}{2}$ ， $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$ 四个数中最大的数是( )

A、 $2_{}^{- 3}$ B、 $2_{}^{\frac{1}{3}}$ C、 $s i n \frac{3}{2}$ D、 $l o g_{2}^{} \frac{1}{3}$

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6. 若正实数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = m$ ，则 $a + b$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2 m}$ B、 $\sqrt{2} m$ C、 $2 \sqrt{m}$ D、 $2 m$

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7. 已知 $a, b \in R$ ．则“ $a > 0$ 且 $b > 0$ ”是“ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 函数 $y = 3 x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值是 $($ $)$ ．

A、 $4$ B、 $5$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多项选择题

9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ B、 $\frac{1}{4} < 2^{a - b} < 4$ C、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \geq 0$ D、 $a^{2} - b > 0$

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10. 已知正数 $a, b$ 满足 $(a - 1) (b - 1) = 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $\frac{a}{b} + 2 b \geq 5$ C、 $a + b \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq 8$

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11. 已知 $x$ ， $y$ 是正数，且 $x + y = 2$ ，下列叙述正确的是（）

A、 $x y$ 最大值为1 B、 $2^{x} + 2^{y}$ 有最大值4 C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2 D、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为9

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三、填空题

12. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值为．

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13. 已知实数x ， y满足 $x > y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ， $M = \frac{3}{x + 2 y} + \frac{1}{2 x - y}$ 的最小值为.

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14. 函数 $y = \frac{x}{x^{2} - 2 x + 4} (x > 0)$ 的最大值为．

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四、解答题

15. [选修4—5：不等式选讲]已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正数，且 $a + b + c = 3$ .

(1)、是否存在 $a$ ， $b$ ， $c$ ，使得 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b + c} \in (0, 5)$ ，说明理由；

(2)、证明： $\sqrt{3 + a} + \sqrt{3 + b} + \sqrt{3 + c} ≤ 6$ .

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16. [选修4—5：不等式选讲]
已知 $a + b = 3 (a > 0, b > 0)$ .

(1)、若 $| b - 1 | < 3 - a$ ，求b的取值范围；

(2)、求 $\sqrt{a + 3} + \sqrt{b + 2} + (a + 1) b$ 的最大值.

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17. 某企业年初在一个项目上投资 $2$ 千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的 $50 %$ ，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出 $500$ 万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过 $n (n \in N^{*})$ 年后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、写出一个递推公式，表示 $a_{n + 1} 与 a_{n}$ 之间的关系，并求证：数列 ${a_{n} - 1000}$ 为等比数列；

(2)、若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（ $l g 3 \approx 0.5$ ， $l g 2 \approx 0.3$ ）

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18. [选修4-5：不等式选讲]
已知 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x - 2 | + | x |$ .

(1)、求 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $t$ ，且 $a + b = \frac{2}{3} t (a > 0, b > 0)$ ，求证： $(\frac{1}{a} + a) (\frac{1}{b} + b) \geq \frac{25}{4}$ .

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19. 某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量 $Q ($ 万件 $)$ 与广告费 $x ($ 万元 $)$ 之间的关系式为 $Q = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x \geq 0) .$ 已知生产此产品的年固定投入为 $3$ 万元，每生产 $1$ 万件此产品仍需再投入 $32$ 万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的 $150 %$ ”与“年平均每件所占广告费的 $50 %$ ”之和．

(1)、试写出年利润 $W ($ 万元 $)$ 与年广告费 $x ($ 万元 $)$ 的关系式；

(2)、当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

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