2025艺考生专用高考数学一轮复习之常用逻辑用语

试卷更新日期：2024-05-16 类型：一轮复习

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一、选择题

1. “a>b>0”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. $α = \frac{π}{6}$ 是 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知直线 $l_{1} : m x - y - 3 = 0, l_{2} : (m - 2) x - y + 1 = 0$ ，则“ $m = 1$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则“ $α = β$ ”是“ $t a n α = t a n β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $s i n A > s i n B$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在 $△ A B C$ 中，设内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设甲： $b - c = a (c o s C - c o s B)$ ，设乙： $△ A B C$ 是直角三角形，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙为充分条件也不是乙的必要条件

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7. 已知平面 $α, β, γ, α \cap β = l$ ，则“ $l ⊥ γ$ ”是“ $α ⊥ γ$ 且 $β ⊥ γ$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{x}, g (x) = c o s x$ ，设甲： $f (x) > g (x)$ ；乙： $x > 0$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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二、多项选择题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = e^{s i n | x |} + e^{| s i n x |}$ 是偶函数 B、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 a x + 1 < 0$ ”是假命题，则 $- 1 \leq a \leq 1$ C、设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x ≥ 1$ ，且 $y \geq 1$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 2$ ”的必要不充分条件 D、 $\exists a b > 0$ ， $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{b - a}$

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10. 已知a， $b \in R$ ，则使“ $a + b > 1$ ”成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 1$ B、 $| a | + | b | > 1$ C、 $2^{a} + 2^{b} > 1$ D、 $\frac{4}{a} + \frac{b + 1}{b} > 10$

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11. 下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{A B} = (\frac{1}{2} ， 3)$ 在向量 $\vec{A C} = (2 ， 1)$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{4}{5} ， \frac{2}{5})$ B、“ $m = 2$ ”是“直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行”的充要条件 C、若正数a，b满足 $a + b = 2$ ，且 $a > b$ ，则 $l n a + l n b < 0$ D、已知 $α ， β$ 为两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若 $m ⊥ α ， n / / β ， α / / β$ ，则 $m ⊥ n$

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三、填空题

12. 命题“ $a x^{2} - 2 a x - 3 > 0$ 不成立”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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13. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于抽象的概念、公式、符号、推理论证、思维方法等之中，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线 $C ： x^{2} + y^{2} = | x | + | y |$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线 $C$ 围成的图形的面积是 $2 + π$ ；
②曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $2$ ；
③若 $P (m ， n)$ 是曲线 $C$ 上任意一点，则 $| 3 m + 4 n - 12 |$ 的最小值是 $\frac{17 - 5 \sqrt{2}}{2}$ ．
其中正确的有（填上所有正确结论的序号）．

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14. 已知下列命题：
①命题“∃x₀∈R， $x_{0}^{2} + 1 > 3 x_{0}$ ”的否定是“∀x∈R，x²＋1＜3x”；

②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“ $(\neg p) \land (\neg q)$ ”为真命题；

③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；

④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．

其中所有真命题的序号是．

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四、解答题

15. 已知命题 $p ：$ “ $\forall x \in [- 1 ， 1]$ ， $x^{2} - x + a + 6 < 0$ ”，命题 $q ：$ “ $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ， $x - a + \frac{4}{x + 2} \leq 0$ ”．

(1)、若命题 $p$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 和 $q$ 中有且仅有一个是假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 已知 $m > 0$ ， $p$ ： $x^{2} - x - 2 \leq 0$ ， $q$ ： $x^{2} - 2 x + 1 - m^{2} ≤ 0$ .

(1)、若 $m = 3$ ， $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围

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17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{2 - x}{3 x + 1}}$ 的定义域为集合 $A$ ，函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a}$ 的定义域为集合 $B$ ，

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、设命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in B$ ， $p 是 q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知命题 $p ： \exists x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $2 x^{2} - 4 a x - 1 \leq 0$ 成立：命题 $q ：$ 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 a x + 3 a)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 单调递减；

(1)、若命题p为假命题，求实数a的取值范围；

(2)、如果 $p \lor q$ 是真命题，求实数a的取值范围．

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19. 已知命题 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{1 - a} + \frac{y^{2}}{a + 3} = 1$ 表示双曲线；命题 $q$ ： $\forall x \in R$ ，不等式 $a x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立.

(1)、若命题 $q$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围

(2)、若“ $p \land q$ ”是假命题，“ $p \lor q$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围

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