2025艺考专用高考数学一轮复习之集合

试卷更新日期：2024-05-16 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 若集合 $A = {- 1 ， 1} ， B = {0 ， 2}$ ，则集合 $C = {z | z = x + y ， x \in A ， y \in B}$ 的真子集的个数为（）

A、6 B、8 C、3 D、7

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | 3^{x - 1} > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[- 1, 3]$ C、 $(1, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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3. 已知集合 $A = {x | l n (x - 1) < 0}, B = {x | - 1 < x \leq \frac{3}{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, \frac{3}{2}]$

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4. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {x ∣ x = 3 k - 1, k \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${2}$ D、 ${1}$

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5. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，集合 $B = {x \in Z | - 2 < x < 3}$ ，则集合 $A \cap B$ 为（）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1, 2}$

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6. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x \leq 6}$ ，集合 $B = {x | x \geq a}$ ，若 $B \subseteq (∁_{R} A)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(6, + \infty)$ B、 $[6, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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7. 设集合 $A = {(x, y) | \frac{y - 1}{x - 2} = 1}$ ， $B = {(x, y) | y = x^{2} - 2 x + 1}$ ，则 $A ∩ B =$ ( )

A、 $\emptyset$ B、 ${(1, 0), (2, 1)}$ C、 ${(2, 1)}$ D、 ${(1, 0)}$

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8. 对任意两个非零的平面向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，定义： $\vec{a} \oplus \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2}}$ ； $\vec{a} ⊙ \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |^{2}}$ .若平面向 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} | > 0$ ，且 $\vec{a} \oplus \vec{b}$ 和 $\vec{a} ⊙ \vec{b}$ 都在集合 ${\frac{n}{4} | n \in Z, 0 < n ⩽ 4}$ ，则 $\vec{a} \oplus \vec{b} + \vec{a} ⊙ \vec{b} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、1或 $\frac{7}{4}$ D、1或 $\frac{5}{4}$

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二、多项选择题

9. 若集合 $M$ 和 $N$ 关系的Venn图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = {0, 2, 4, 6}, N = {4}$ B、 $M = {x ∣ x^{2} < 1}, N = {x ∣ x > - 1}$ C、 $M = {x ∣ y = l g x}, N = {y ∣ y = e^{x} + 5}$ D、 $M = {(x, y) ∣ x^{2} = y^{2}}, N = {(x, y) ∣ y = x}$

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10. 如图，已知矩形 $U$ 表示全集， $A ， B$ 是 $U$ 的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A、 $(∁_{U} A) \cap B$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $∁_{B} (A ∩ B)$ D、 $∁_{(A ∪ B)} (A ∩ B)$

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11. 设集合 $A = {1, 4, x}$ ， $B = {1, x^{2}}$ ，且 $A \cup B = {1, 4, x}$ ，则满足条件的实数 $x$ 的值是（）

A、－2 B、3 C、1 D、0

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三、填空题

12. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $N = {x | x^{2} - a x < 0, x \in Z}$ ，若集合 $M ∩ N$ 恰有两个元素，则实数a的取值范围是.

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13. 对于非空集合 $M$ ，定义 $Φ_{M} (x) = {\begin{array}{l} 0 ， x \notin M \\ 1 ， x \in M \end{array}$ ，若 $A = {x s i n x ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $B = (a ， 2 a)$ ，且存在 $x \in R$ ， $Φ_{A} (x) + Φ_{B} (x) = 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱．某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是．

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四、解答题

15. 已知集合 $A = {x ∣ 2 x - 1 ⩽ 5}, B = {x ∣ 2 a - 1 < x < a + 3}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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16. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{- 2 x^{2} + x + 1}}$ ，集合 $B = {x | (x + a - 1) (x - 2 a) \geq 0 ， a \in R}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $∁_{R} (A ∪ B)$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求实数 $a$ 的值.

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17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 3 < x < 2}$ ， $B = {\begin{array}{l} x | \frac{2 x - 7}{x - 1} \leq 1 \end{array}}$ ， $C = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ .

(1)、求 $A ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $C \subseteq A \cup B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ， $B = {x | (x - m^{2}) (x - m + 1) \leq 0}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求集合 $∁_{R} B$ ；

(2)、当 $B \subseteq A$ 时，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} + 4 x + a = 0}$ ， $B = {x | x^{2} + b x - 2 = 0}$ .

(1)、若 $a = - 5$ ，求集合A并写出A的所有子集；

(2)、若 $∁_{U} A ∩ B = {2}$ ， $∁_{U} B ∩ A = {- 3}$ ，求 $A ∪ B$ .

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