黑龙江省哈尔滨市松北区2024年中考数学一模试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：中考模拟

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一、选择题（每小题3分，共计30分）

1. –4的相反数是（）

A、4 B、–4 C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 下列运算一定正确的是（）

A、 $3 a^{2} + 4 a^{2} = 7 a^{4}$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$ D、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $A D$ 经过点O ，若 $∠ A D C = 42 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、42° B、66° C、84° D、48°

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6. 抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 5$ 与y轴的交点坐标为（）

A、 $(1, 5)$ B、 $(- 1, 5)$ C、 $(0, 5)$ D、 $(0, 6)$

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7. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ $s a d$ ）.如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，顶角A的正对记作 $s a d A$ ，这时 $s a d A = \frac{B C}{A B}$ ，根据上述角的正对定义，则 $s a d 60 °$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个黑球、1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黑球和一个白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E、F分别在 $B C$ 、 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E ∥ A C$ ， $D F ∥ A B$ ，则下列结论不一定正确的是（）

A、 $\frac{B E}{A E} = \frac{B D}{D C}$ B、 $\frac{F C}{A F} = \frac{C D}{B D}$ C、 $\frac{B E}{D F} = \frac{E D}{F C}$ D、 $\frac{A E}{D C} = \frac{A B}{B D}$

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10. A ， B两地相距80 $k m$ ，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地.甲、乙两人离开A地的距离S（单位： $k m$ ）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（）

A、乙比甲提前出发1h B、甲行驶的速度为40 $k m / h$ C、3h时，甲、乙两人相距60 $k m$ D、0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10 $k m$

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二、填空题（每小题3分，共计30分）

11. 将数8200000用科学记数法表示为.

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12. 在函数 $y = \frac{2}{\sqrt{x + 4}}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 已知反比例函数 $y = \frac{k + 1}{x}$ 的图象经过点 $(2, 3)$ ，则k的值为.

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14. 计算 $3 \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \sqrt{24}$ 的结果是.

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15. 把多项式 $m x^{2} - 16 m$ 分解因式的结果是．

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16. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x > 1 \\ 2 - x < 3 \end{array}$ 的解集是.

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17. 一个扇形的圆心角为120°，它的弧长为 $10 π c m$ ，则此扇形的半径是 $c m$ .

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18. 观察图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★.

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19. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D ，若 $A D = 2$ ，则 $B C$ 的长为.

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 上， $B C = 3 E D$ ，连接 $B E$ ， $D F ⊥ A B$ 于点F ，交 $B E$ 于点G ， $∠ A B E = 2 ∠ A D F$ ， $B G = G D$ ，若 $C D = 5$ ，则线段 $B F$ 的长为.

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三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）

21. 先化简，再求代数式 $(\frac{3 x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x + 3}) \div \frac{2 x + 3}{x - 3}$ 的值，其中 $x = 2 s i n 60 ° - 3 t a n 45 °$ .

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22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 $A B$ 的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；

(1)、画出一个以 $A B$ 为一边的 $△ A B E$ ，点E在小正方形的顶点上，且 $∠ A B E = 45 °$ ；

(2)、画出以 $C D$ 为一腰的等腰 $△ C D F$ ，点F在小正方形的顶点上，且 $△ C D F$ 的面积为 $\frac{15}{2}$ ，连接 $E F$ ，请直接写出线段 $E F$ 的长.

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23. 某学校为了丰富学生课余活动，要开设四种球类的选学课程.为了了解学生最喜欢哪一种球类（每位学生必须选一类，而且只能选一类），随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成了两幅统计图.根据图中信息，回答下列问题：

(1)、本次调查共随机抽查了多少名学生？

(2)、通过计算将条形统计图补充完整；

(3)、若该学校共有1200人，估计该校有多少名学生最喜欢乒乓球？

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24. 已知：在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点O ， $A O = O C$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ .

图1 图2

(1)、如图1，求证：四边形 $A B C D$ 为矩形；

(2)、如图2，过点O作 $E F ⊥ B D$ ，交 $A D$ 于点E ，交 $B C$ 于点F ，若 $A B = A O$ ，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段 $E D$ 的长度的一半.

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25. 某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元

(1)、求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？

(2)、若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？

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26. 在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 交于点E ，且 $C E = D E$ ，点F是弧 $A D$ 的中点，连接 $A C$ 、 $C F$ ， $C F$ 与 $A E$ 交于点M.

(1)、如图1，求证： $∠ C A B + 2 ∠ D C F = 90 °$ ；

(2)、如图2，连接 $F O$ ，过点O作 $O G ⊥ O F$ 交 $⊙ O$ 于点G ，连接 $C G$ ，交 $A B$ 于点N ，求证： $A C = A N$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，若 $4 M B = 3 A C$ ， $S_{△ O N G} = 18$ ，求 $F M$ 的长.

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27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与x轴交于A、B ，与y轴交于点C ，点A的坐标为 $(- 2, 0)$ ，点B的坐标为 $(5, 0)$ .

(1)、求a、b的值；

(2)、如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接 $A P$ ，交y轴于点D ，设点P的横坐标为t ， $C D$ 的长为d ，求d与t的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）

(3)、如图2，在（2）的条件下，连接 $B C$ ， $B C$ 与 $A P$ 交于点E ，延长 $B C$ 至点F ，连接 $O F$ ，过点O作 $O G ⊥ F O$ ，连接 $B G$ ， $∠ C B G = 90 °$ ， $C E + B G = E B$ ，连接 $O E$ 并延长交 $C G$ 于点H ，若 $\frac{C H}{H G} = \frac{3}{7}$ ，求点P的坐标.

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