广东省惠州市龙门县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、选择题（本大题3小题，每小题3分，共30分）

1. 使式子 $\sqrt{x - 2}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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2. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} \div 3 = 2$

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3. 下列各式中，能与 $\sqrt{12}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{27}$ D、 $\sqrt{32}$

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4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、3，4，5 B、2，3，4 C、4，5，6 D、8，9，10

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5. 下列说法中正确的是（）

A、有一个角是直角的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形

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6. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为（）

A、30米 B、32米 C、36米 D、48米

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7. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，下列条件不能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B = C D$ ， $A D = B C$ B、 $A B ∥ C D$ ， $A D = B C$ C、 $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ D、 $O A = O C$ ， $O B = O D$

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8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）

A、统计思想 B、分类思想 C、数形结合思想 D、方程思想

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9. 如图，将长方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 对折，使点 $C$ 落在点 $C^{'}$ 处， $B C^{'}$ 交 $A D$ 于 $E$ ， $A D = 16$ ， $A B = 8$ ，则重叠部分（即 $△ B D E$ ）的面积为（）

A、24 B、30 C、40 D、80

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10. 如图，已知菱形 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 12 0^{∘}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 为对角线 $B D$ 上一点，则 $P E + P C$ 的最小值等于（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、8

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 比较大小： $5 \sqrt{3}$ $6 \sqrt{2}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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12. 化简 $(\sqrt{3} - 2)^{2023} \cdot (\sqrt{3} + 2)^{2024}$ 的结果为．

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13. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则另一条边长为．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D B = D C$ ， $∠ A = 6 5^{∘}$ ， $C E ⊥ B D$ 于 $E$ ，则 $∠ B C E =$ ．

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15. 如图， $P$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点，过点 $P$ 作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $P A$ ， $P C$ ．若 $B E = 2$ ， $P F = 6$ ，则图中阴影部分的面积为．

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三、解答题（一）（16题10分，每小题5分，17、18题各7分，共24分）

16.

(1)、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{27}$

(2)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \div 5 \sqrt{2}$

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17. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A B = 15$ ， $B C = 9$ ， $A D = 5$ ， $D C = 13$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上的两点，且 $A E = C F$ ，求证： $D E = B F$ ．

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四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19. 阅读理解题，下面我们观察：
$(\sqrt{2} - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$ ．反之 $3 - 2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ ，所以 $3 - 2 \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ ，所以 $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ ．
完成下列各题：

(1)、把 $3 + 2 \sqrt{2}$ 写成 $(a + b)^{2}$ 的形式；

(2)、化简： $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ ；

(3)、化简： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ ．

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20. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B C$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ A C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，连接 $C M$ ．

(1)、求证：四边形 $A D E C$ 是矩形；

(2)、若 $C M = 6.5$ ，且 $A C = 12$ ，求四边形 $A D E B$ 的面积．

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21. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在迎宾大道 $M N$ 上限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 $M N$ 旁设立了观测点 $C$ ，从观测点 $C$ 测得一小车从点 $A$ 到达点 $B$ 行驶了5秒，已知 $∠ C B N = 6 0^{∘}$ ， $B C = 200$ 米， $A C = 100 \sqrt{6}$ 米．

(1)、请求出观测点 $C$ 到公路 $M N$ 的距离：

(2)、此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22. 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、操作判断：
如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 折叠，使点 $A$ 落在点 $F$ 处，把纸片展平，延长 $D F$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ．请写出线段 $F G$ 与线段 $B G$ 的数量关系，并说明理由.

(2)、迁移思考：
如图1，若 $A B = 4$ ，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当 $C G = 2$ 时，求 $A D$ 的值.

(3)、拓展探索：
如图2，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，其中 $∠ A$ 与 $∠ C$ 是对角，点 $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 折叠，使点 $A$ 落在点 $F$ 处，把纸片展平，延长 $D F$ 与射线 $B C$ 交于点 $G$ ．若 $A D = 2$ ， $C G = 0.5$ ，请直接写出线段 $D G$ 的值．

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23. 已知，如图， $O$ 为坐标原点，四边形 $O A B C$ 为矩形， $A (10, 0)$ ， $C (0, 3)$ ，点 $D$ 是 $O A$ 的中点，动点 $P$ 在线段 $B C$ 上以每秒2个单位长的速度由点 $C$ 向 $B$ 运动．设动点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当 $t$ 为何值时，四边形 $P O D B$ 是平行四边形；

(2)、在直线 $C B$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得 $O$ 、 $D$ 、 $Q$ 、 $P$ 四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求 $t$ 的值，并求出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、在线段 $P B$ 上有一点 $M$ 且 $P M = 5$ ，直接写出四边形 $O A M P$ 的周长的最小值，并在图上画图标出点 $M$ 的位置．

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