江西省九江市永修县2024年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：中考模拟

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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）

A、1：4 B、4：1 C、1：2 D、2：1

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2. 将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是（）

A、 $y = - 2 {(x + 2)}^{2} - 3$ B、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} - 3$ C、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 3$ D、 $y = - 2 {(x + 2)}^{2} + 3$

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3. 若一个扇形的半径是6，扇形的圆心角的度数是120°，则这个扇形的面积是（）

A、4π B、6π C、12π D、24π

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4. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ C A D = 70 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、40° B、30° C、20° D、10°

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = - a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点A ， B在x轴上，且 $P A ⊥ P B$ ， $P A$ 交y轴于点C ， $A O = B O = B P$ .若 $△ A B P$ 的面积是4，则k的值是（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的根是.

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8. 如图，半径为2的 $⊙ A$ 经过原点O和点C ， B是y轴左侧 $⊙ A$ 上的一点，且 $∠ O B C = 20 °$ ，则 $\overset{⌢}{O C}$ 的长为.

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9. 若抛物线 $y = m x^{2} - 6 x - 9$ 与x轴只有一个交点，则m的值为.

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10. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E ，若 $C D = 16$ ， $E B = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径为.

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11. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点A ， B ， O均在网格线的交点上，则 $c o s ∠ A C B$ 的值是.

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12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 在y轴的正半轴上，边 $B C$ 在第一象限内，且点 $A (0, 3)$ ， $B (5, 3)$ ，将正方形 $A B C D$ 绕点A按顺时针方向旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，若点B的对应点 $B^{'}$ 恰好落在坐标轴上，则点C的对应点 $C^{'}$ 的坐标为.

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三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.

(1)、计算： $t a n 45 ° + 4 c o s 30 ° s i n 4 5^{°} ° - \frac{\sqrt{3}}{3} t a n 60 °$ .

(2)、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点O ， $D E ∥ A C$ ， $C E ∥ B D$ .求证：四边形 $O C E D$ 是菱形.

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14. 一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，其俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数.请在方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图.

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15. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - m = 0$ ，若该方程的两个实数根分别为α ， β ，且 $α + 2 β = 5$ ，求m的值.

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16. 暑假期间，小张和小美一起到南昌旅游，晚上他们去特色街逛街并吃点小吃，看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么.他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A.白糖糕；B.炒螺蛳；C.三杯鸡；D.南昌炒粉.将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好，小张先从这四张卡片中随机抽取一张，放回后洗匀，小美再从这四张卡片中随机抽取一张.

(1)、小张抽到卡片正面写着“南昌炒粉”的概率是.

(2)、请用列表或画树状图的方法，求小张、小美两个人抽到不同特色美食的概率.

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17. 如图一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象相交于点 $A (- 1, m)$ ， $B (n, - 1)$ .

(1)、求一次函数的解析式.

(2)、结合图象，直接写出不等式 $k x + b > - \frac{4}{x}$ 的解集.

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四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 如图，点A ， B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点C到桥的另一端点B的俯角为28°，无人机由点C继续竖直上升10米到点D ，测得点D到桥的另一端点B的俯角为37°，求桥 $A B$ 的长.（结果精确到0.1，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $s i n 28 ° \approx 0.47$ ， $c o s 28 ° \approx 0.88$ ， $t a n 28 ° \approx 0.53$ ）

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19. “元宵节”吃元宵是中国的传统习俗，某超市购进一种品牌元宵，每盒进价是30元，并规定每盒售价不得少于40元，日销售量不低于350盒.根据以往的销售经验发现，当每盒售价定为40元时，日销售量为500盒，且每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.

(1)、当 $x = 50$ 时， $p =$ .

(2)、当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， O是 $B C$ 上的一点，以点O为圆心， $O C$ 的长为半径作 $⊙ O$ ，且 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点H ，连接 $A O$ .

(1)、求证： $A O$ 平分 $∠ B A C$ .

(2)、若 $A B = 5$ ， $t a n ∠ O A C = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $B C > A D$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A B = 10 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，点F从点A出发，以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度向终点C匀速运动，设运动时间为ts（ $0 < t < 5$ ）.

(1)、求证： $△ A C D ∽ △ B A C$ .

(2)、求 $D C$ 的长.

(3)、试探究： $△ B E F$ 能为等腰三角形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

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22. 定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线 $y = a x - a$ 为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的“衍生直线”.如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与其“衍生直线”交于A ， B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点 $C (- 3, 0)$ .

(1)、求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标.

(2)、如图2，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的“衍生直线”与y轴交于点 $D_{1}$ ，依次作正方形 $D_{1} E_{1} F_{1} O$ ，正方形 $D_{2} E_{2} F_{2} F_{1}$ ， …，正方形 $D_{n} E_{n} F_{n} F_{n - 1}$ （n为正整数），使得点 $D_{1}$ ， $D_{2}$ ， $D_{3}$ ， …， $D_{n}$ 在“衍生直线”上，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{3}$ ， …， $F_{n}$ 在x轴负半轴上.
①直接写出下列点的坐标： $E_{1}$ ▲ ， $E_{2}$ ▲ ， $E_{3}$ ▲ ， $E_{n}$ ▲ .
②试判断点 $E_{1}$ ， $E_{2}$ ， …， $E_{n}$ 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由.

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六、解答题（本大题共12分）

23. 新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形.例如： $△ A B C$ 三边的长分别为 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A C = \sqrt{2}$ .因为 $A C^{2} = A B \cdot B C$ ，所以 $△ A B C$ 是比例三角形.

(1)、【问题提出】
已知 $△ A B C$ 是比例三角形， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $A C$ 的长.

(2)、【问题探究】
如图1，P是矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上的一动点， $A Q$ 平分 $∠ P A D$ ，交边 $B C$ 于点Q ， $∠ A P D = ∠ P Q D$ .
①求证： $△ A P D ∽ △ D Q P$ ，
②求证： $△ A P D$ 是比例三角形.

(3)、【问题延伸】
如图2，在（2）的条件下，当 $A B = 1$ ， $P Q = a$ 时，点C与点Q能否重合？若能，求出 $a^{2}$ 的值；若不能，请说明理由.

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