江西省抚州市八校2024年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：中考模拟

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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．

1. 2024的倒数是（）

A、 $- 2024$ B、2024 C、 $- \frac{1}{2024}$ D、 $\frac{1}{2024}$

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2. $2022$ 年 $11$ 月 $29$ 日 $23$ 时 $08$ 分，神舟十五号载人飞船成功发射， $3$ 名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，下列航天图标是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，如果数轴上A、B两点分别对应实数a、b ，那么下列结论正确的是（）

A、a＋b＞0 B、ab＞0 C、a－b＞0 D、|a|－|b|＞0

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4. 直线 $y = k x + b$ 经过一、三、四象限，那么点 $(k, b)$ 第（）象限．

A、一 B、二 C、三 D、四

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5. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} (v \neq f)$ 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）

A、 $\frac{f v}{f - v}$ B、 $\frac{f - v}{f v}$ C、 $\frac{f v}{v - f}$ D、 $\frac{v - f}{f v}$

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6. 如图所示的运算程序中．若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，···，第2025次输出的结果为（）

A、6 B、3 C、18 D、9

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 因式分解 $8 x^{2} - 2 y^{2}$ ＝．

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8. 2024龙年春节为期8天，号称“史上最长”春节假期，经文化和旅游部数据中心测算，春节全国国内旅游出游 $474000000$ 人次，数据 $474000000$ 用科学记数法表示．

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9. 一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 > 1 \\ x < 4 \end{array}$ 的解集为．

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10. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为。

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11. 《九章算术》中记载了一种测量井深方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D观察井水水岸C ，视线DC与井口的直径AB交于点E ，如果测得 $A E = 1.3$ 米， $B D = 1.2$ 米、 $B E = 0.2$ 米，那么 $A C =$ 米．

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12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝2 $\sqrt{2}$ ， E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为．

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三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.

(1)、计算： $\sqrt{12} - | 1 - \sqrt{3} | - {(\frac{1}{3})}^{- 1} - t a n 60 °$ ；

(2)、如图，已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形，E ， F为对角线 $B D$ 上的两点，且 $D F = B E$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ，求证： $∠ D A E = ∠ B C F$ ．

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14. 先化简再求值： $(a + 2 - \frac{5}{a - 2}) \div \frac{a^{2} + 6 a + 9}{a - 2}$ ，其 $a$ 从 $- 2$ ， 2， $- 3$ ， 3中选一个合适的数代入求值．

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15. 如图，已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在 $⊙ O$ 上，请用无刻度的直尺作图．

(1)、如图1，若点 $D$ 是 $A C$ 的中点，试画出 $∠ B$ 的平分线；

(2)、如图2，若 $B D$ $∥$ $A C$ ，试画出 $∠ A B C$ 的平分线．

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16. 魔术师刘谦在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，他创造的“奇迹”给我们带来了很多快乐．很多对此感兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上．

(1)、从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少?

(2)、从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．

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17. 为了推进校园“三大球”体育活动的效果，某学校计划采购 $100$ 个足球， $x$ 个排球 $(x > 50)$ ．现有 $A$ ， $B$ 两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个 $50$ 元，排球每个 $40$ 元，他们的优惠政策是：
$A$ 公司：足球和排球一律按标价的 $8$ 折销售；
$B$ 公司：每购买 $2$ 个足球，赠送 $1$ 个排球．（单买按标价计算）

(1)、请用含 $x$ 的代数式分别表示出购买 $A$ ， $B$ 公司体育用品的费用；

(2)、当购买 $A$ ， $B$ 两个公司体育用品的费用相等时，求此时 $x$ 的值．

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四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点D的坐标为 $(4 ， 3)$ .

(1)、求k的值.

(2)、设点M在反比例函数图象上，连接 $M A$ ， $M D$ ，若 $△ M A D$ 的面积是菱形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{4}$ ，求点M的坐标.

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19. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点 $D$ ， $B$ ， $O$ 在同一直线上， $D O$ 可绕着点 $O$ 旋转， $A B$ 为云梯的液压杆，点 $O$ ， A ， $C$ 在同一水平线上，其中 $B D$ 可伸缩，套管 $O B$ 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆 $A B = 3 m$ ， $∠ B A C = 53 °$ ， $∠ D O C = 37 °$ ．

(1)、求 $B O$ 的长．

(2)、消防人员在云梯末端点 $D$ 高空作业时，将 $B D$ 伸长到最大长度 $6 m$ ，云梯 $D O$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了 $3 m$ ，求云梯 $O D$ 旋转了多少度．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $s i n 64 ° \approx 0.90$ ， $c o s 64 ° \approx 0.44$ ）

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20. 如图，在 $△ A B D$ 中， $A B = A D$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交线段 $B D$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ A D$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、当 $∠ D = 30 °$ ， $C E = \sqrt{3}$ 时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

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五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：

平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
80
a
72
$40 %$
八年级
80
80
b
$c %$
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．

(3)、若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．

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22. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
⑴温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D ，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P ， N分别在AB ， AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的边长．
⑵操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC ，在AB上任取一点P^' ，画正方形P^'Q^'M^'N^' ，使Q^' ， M^'在BC边上，N^'在△ABC内，连结BN^'并延长交AC于点N ，画NM⊥BC于点M ， NP⊥NM交AB于点P ， PQ⊥BC于点Q ，得到四边形PQMN ．小波把线段BN称为“波利亚线”．
⑶推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
⑷拓展：在(2)的条件下，于波利业线BN上截取NE=NM ，连结EQ ， EM(如图3)．当tan∠NBM= $\frac{3}{4}$ 时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

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六、解答题（本大题共12分）

23. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．

(1)、【概念理解】
抛物线 $y_{1} = 2 (x - 1) (x - 2)$ 与抛物线 $y_{2} = x^{2} - 3 x + 2$ 是否围成“月牙线”？说明理由．

(2)、【尝试应用】
抛物线 $y_{1} = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2$ 与抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a > \frac{1}{2})$ 组成一个如图所示的“月牙线”，与 $x$ 轴有相同的交点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），与 $y$ 轴的交点分别为 $A, B$ ．
①求 $a : b : c$ 的值．
②已知点 $P (x_{0}, m)$ 和点 $Q (x_{0}, n)$ 在“月牙线”上， $m > n$ ，且 $m - n$ 的值始终不大于2，求线段 $A B$ 长的取值范围．

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	平均数	中位数	众数	优秀率
七年级	80	a	72	$40 %$
八年级	80	80	b	$c %$