广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年高二下学期数学期中教学质量监测试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 随机变量 $ξ$ 的分布列如表格所示，其中 $2 b = a + c$ ，则 $b$ 等于（）
$ξ$
$- 1$
0
1
$P$
$a$
$b$
$c$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq a) = \frac{5}{6}$ ，则 $P (| X | \leq a) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 已知 $X \sim B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (3 X - 2) =$ （）

A、12 B、9 C、6 D、4

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4. 对于数据组 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ），如果由经验回归方程得到的对应自变量 $x_{i}$ 的估计值是 ${\hat{y}}_{i}$ ，那么将 $y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ 称为对应点 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差.某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：
第 $x$ 天
1
2
3
4
5
6
高度 $y (c m)$
1
4
7
9
11
13
经这位同学的研究，发现第 $x$ 天幼苗的高度 $y (c m)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 2.4 x + \hat{a}$ ，据此计算样本点 $(5, 11)$ 处的残差为（）

A、0.1 B、 $- 0.1$ C、0.9 D、 $- 0.9$

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5. 如图，有4种不同的颜色供选择，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（）

A、48 B、56 C、72 D、256

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6. 一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件 $A$ ：“这3个球的颜色各不相同”，事件 $B$ ：“这3个球中至少有1个黑球”，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{17}{25}$ D、 $\frac{8}{25}$

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7. 从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（）

A、40 B、48 C、55 D、70

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8. 已知 ${(2 x - m)}^{7} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} {(1 - x)}^{7}$ ，若 $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{7}}{2^{7}} = - 128$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、240 B、 $- 240$ C、280 D、 $- 280$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知二项式 ${(3 x + \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（）

A、 $n$ 为7 B、所有项的二项式系数和为32 C、二项式系数最大的项为第4项 D、没有常数项

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10. 在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为 $X$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (X = 1) = \frac{2}{5}$ B、 $P (X = 2) = \frac{3}{7}$ C、随机变量 $X$ 服从超几何分布 D、随机变量 $x$ 服从二项分布

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11. 已知事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.5$ ， $P (\bar{A} \cdot \bar{B}) = 0.3$ 则下列结论正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $P (A B) = 0.4$ D、 $P (\bar{A} \cdot B) = 0.3$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）

12. 在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个.若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为.

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13. 从集合 ${1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 11}$ 中任选两个元素作为椭圆方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ 中的 $m$ 和 $n$ ，则能组成落在矩形区域 $B = {(x, y) | | x | < 11, 且 | y | < 9}$ 内的椭圆个数为.

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14. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为．

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m．

(1)、求m的值；

(2)、求二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{\frac{3 m}{4}}$ 的展开式中的常数项．

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16. 某产品的广告费用支出 $x$ （单位：万元）与销售额 $y$ （单位：万元）的数据如下表.
（参考公式：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）
广告费用支出 $x$
3
5
6
7
9
销售额 $y$
20
40
60
50
80

(1)、在给出的坐标系中画出散点图；

(2)、建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；

(3)、利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少.

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17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)、求甲学校获得冠军的概率；

(2)、用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

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18. 新高考改革后部分省份采用“ $3 + 1 + 2$ ”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门.
附： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

(1)、若按照“ $3 + 1 + 2$ ”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；

(2)、某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布 $N (245, 5 5^{2})$ .
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信.

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19. 某商场举办摸球赢购物券活动.现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球.参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球，第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球，若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券.用X表示一位参加活动者所得购物券的金额.

(1)、在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率.

(2)、①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.

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$ξ$	$- 1$	0	1
$P$	$a$	$b$	$c$

第 $x$ 天	1	2	3	4	5	6
高度 $y (c m)$	1	4	7	9	11	13

广告费用支出 $x$	3	5	6	7	9
销售额 $y$	20	40	60	50	80