广东省广州四中2023-2024学年高二下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）

1. 下列导数运算正确的是（）

A、 ${(s i n x)}^{^{'}} = - c o s x$ B、 ${(l o g_{2} x)}^{^{'}} = \frac{l n 2}{x}$ C、 ${(\sqrt{x})}^{^{'}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = \frac{1}{x^{2}}$

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2. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，若 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0} - 2 Δ x)}{Δ x} = 1$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、2 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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3. 用5种不同的颜色对如图所示的A ， B ， C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（）种不同的着色方法．

A、60 B、64 C、80 D、125

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4. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则不等式 $x f^{'} (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (2, + ∞)$ B、 $(- ∞, 0) \cup (\frac{1}{2}, 2)$ C、 $(- ∞, \frac{1}{2}) \cup (2, + ∞)$ D、 $(- ∞, 0) \cup (\frac{1}{2}, + ∞)$

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5. 若过点 $P (t, 0)$ 可以作曲线 $y = (1 - x) e^{x}$ 的两条切线，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$

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6. 已知 ${(x - 2 y)}^{n}$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 $x^{5} y^{2}$ 项的系数为（）

A、―4 B、84 C、―280 D、560

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7. 若函数 $f (x) = k x - 6 l n x - x^{2}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞, 4 \sqrt{3})$ B、 $(- ∞, 8]$ C、 $(- ∞, 8)$ D、 $(- \infty, 4 \sqrt{3}]$

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8. 已知函数 $f (x) = m e^{m x} - \ln x$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， e)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， e)$

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二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）

9. 带有编号 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的五个球，则（）

A、全部投入 $4$ 个不同的盒子里，共有 $4^{5}$ 种放法 B、放进不同的 $4$ 个盒子里，每盒至少一个，共有 $4$ 种放法 C、将其中的 $4$ 个球投入 $4$ 个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 $20$ 种放法 D、全部投入 $3$ 个不同的盒子里，没有空盒，共有 $140$ 种不同的放法

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10. 对于函数 $f (x) = \frac{l n x}{x^{3}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt[3]{e}$ 处取得极大值为 $\frac{1}{3 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\sqrt[3]{2}) < f (\sqrt[3]{π}) < f (\sqrt[3]{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{3}}$ 在区间 $(0, + ∞)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e^{2}}{3}$

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11. 定义：设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + \frac{5}{3} (a b \neq 0)$ 的对称中心为 $(1, 1)$ ．则下列说法中正确的有（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = - 1$ B、 $f (\frac{1}{100}) + f (\frac{2}{100}) + ⋯ + f (\frac{198}{100}) + f (\frac{199}{100})$ 的值是 $199$ C、函数 $f (x)$ 只有唯一零点 D、过 $(- 1, \frac{1}{3})$ 可以作三条直线与 $y = f (x)$ 图象相切

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三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

12. 3名男生，4名女生，全体站成一排，男生不能站在一起的方法种数为．

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13. 某个体户计划同时销售A ， B两种商品，当投资额为x $(x > 0)$ 千元时，在销售A ， B商品中所获收益分别为 $f (x)$ 千元与 $g (x)$ 千元，其中 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = 4 l n (2 x + 1)$ ，如果该个体户准备共投入5千元销售A ， B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．

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14. 已知函数f（x）的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，对任意的实数x都 $f^{'} （ x ） = 2 (x - a) e^{x} + f （ x ）$ ，且f（0）=1，若f（x）在（-1，3）上有极值点，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：（本大题共5小题，满分77分）

15. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 是公比不为1的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $3 a_{1} ， 2 a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列， $S_{3} = 26$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (n + \frac{1}{2}) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 4 x + 1) e^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [- 2, 4]$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最值．

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17. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所有棱长均为 $2$ ， $∠ C_{1} C A = 60 °$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 与底面 $A B C$ 垂直， $D$ 、 $E$ 分别是线段 $A C$ 、 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、若点 $F$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上靠近 $B_{1}$ 的三等分点，求点 $F$ 到平面 $B D E$ 的距离．

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18. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $(3, - 1)$ 在双曲线 $C$ 上．过 $C$ 的左焦点F作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于A、B两点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $M (- 2, 0)$ ，试问：是否存在直线 $l$ ，使得点M在以 $A B$ 为直径的圆上?请说明理由．

(3)、点 $P (- 4, 2)$ ，直线 $A P$ 交直线 $x = - 2$ 于点 $Q$ ．设直线 $Q A$ 、 $Q B$ 的斜率分别 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求证： $k_{1} - k_{2}$ 为定值．

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19. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - a x^{2} - x$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性

(2)、证明：①当 $a \geq 0$ 时， $f (x) \leq 0$ ；
② $s i n \frac{1}{n + 1} + s i n \frac{1}{n + 2} + ⋯ + s i n \frac{1}{2 n} < l n 2, n \in N^{*}$ .

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