浙江省嘉兴市八校联盟2023-2024学年高二下学期数学期中考试试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，它的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，下列导数值排序正确的是（）

A、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > f^{'} (3) > 0$ B、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3) < 0$ C、 $0 < f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > 0 > f^{'} (3)$

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2. 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（）

A、30种 B、11种 C、15种 D、35种

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3. ${(x - 1)}^{10}$ 的展开式的第 $4$ 项的系数是（）

A、 $- C_{10}^{3}$ B、 $C_{10}^{3}$ C、 $- C_{10}^{5}$ D、 $C_{10}^{5}$

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4. 设随机变量 $X ∼ B (3, \frac{2}{3})$ ，则 $D (3 X + 1) =$ （）

A、2 B、3 C、6 D、7

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5. 一个盒内有五个月饼，其中两个为果浆馅，三个为五仁馅，现从盒内随机取出两个月饼，若事件 $A =$ “取到的两个月饼为同一种馅”， $B =$ “取到的两个月饼都是五仁馅”，则概率 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）

A、240 B、192 C、96 D、48

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7. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示， $y = f^{'} (x)$ 为函数 $y = f (x)$ 的导函数，则不等式 $x f^{'} (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, - 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 3, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- ∞, - 3) \cup (1, + ∞)$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $1 < x_{1} < 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = 2$ C、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} < 4$ D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 6$

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二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．）

9. 设随机变量 $ξ$ 的分布列如表所示，则下列选项中正确的为（）
$ξ$
0
1
2
3
$P$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$m$
$\frac{1}{12}$

A、 $E (ξ) = 2$ B、 $D (ξ) = \frac{11}{16}$ C、 $P (0 \leq ξ \leq 1) = \frac{2}{3}$ D、 $P (ξ = 2) = \frac{1}{4}$

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10. 已知 $(x - 2)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{5} x^{5}$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 121$ B、 $\sum_{i = 0}^{5} a_{i} = - 1$ C、 $a_{3} = - 40$ D、 $a_{4} = - 10$

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11. 已知直线 $y = k x$ 与曲线 $y = l n x$ 相交于不同两点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ ，曲线 $y = l n x$ 在点 $M$ 处的切线与在点 $N$ 处的切线相交于点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则（）

A、 $0 < k < \frac{1}{e}$ B、 $x_{1} x_{2} = e x_{0}$ C、 $y_{1} + y_{2} = 1 + y_{0}$ D、 $\sqrt{x_{1} x_{2}} < \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 函数 $f (x) = x l n x$ 的导函数是.

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13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为： $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - 85)^{2}}{2 σ^{2}}}$ ，且 $P (70 \leq X \leq 100) = 0.8$ ，若参加此次联考的学生共有 $8000$ 人，则数学成绩超过 $100$ 分的人数大约为．

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14. 用 $1 - 9$ 这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是 $3$ 的倍数的九位数，这样的九位数有个（用数学作答）

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四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x - 3 l n x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的极值.

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16. 已知 ${(\frac{3}{x} - \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中，所有项的系数之和是512．

(1)、求展开式中含 $x^{3}$ 项的系数；

(2)、求 $(1 + \frac{1}{x}) (2 x - 1)^{n}$ 的展开式中的常数项.

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17. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求比赛结束时恰好打了6局甲获胜的概率；

(2)、若甲以 $3 : 1$ 的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．

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18. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品．

(1)、从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

(2)、如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，每次取1个，已知第二个是次品的条件下，求第一个是正品的概率；

(3)、若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率．

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19. 已知函数 $f (x) = x (a - l n x)$

(1)、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点， $g (x) = f (x) - \frac{k}{2}$ 有两个零点，求 $k$ 的取值范围；

(2)、令 $h (x) = \frac{1}{a} f (x) (a \neq 0)$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 1$ 时，设 $m$ 和 $n$ 为两个不相等正数，且 $f (m) = f (n)$ ，证明： $2 < m + n < e$ ．

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$ξ$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$m$	$\frac{1}{12}$