湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高一下学期月考数学试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“ $\forall x < - 1, l o g_{2} x^{2} > 0$ ”的否定为( )

A、 $\forall x < - 1$ ， $l o g_{2} x^{2} \leq 0$ B、 $\forall x \geq - 1$ ， $l o g_{2} x^{2} > 0$ C、 $\exists x \geq - 1$ ， $l o g_{2} x^{2} > 0$ D、 $\exists x < - 1$ ， $l o g_{2} x^{2} \leq 0$

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2. 设复数 $z = a + b i$ (其中 $a 、 b \in R$ ， $i$ 为虚数单位)，则“ $a = 0$ ”是“ $z$ 为纯虚数”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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3. 若角 $330 °$ 的终边上有一点 $(a, - 1)$ ，则 $a$ 的值为( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot s i n x$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为( )

A、 B、 C、 D、

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5. 把 $△ A B C$ 按斜二测画法得到 $△ A' B' C' ($ 如图所示 $)$ ，其中 $B' O' = C' O' = 1$ ， $A' O' = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么 $△ A B C$ 是一个( )

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、三边互不相等的三角形

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6. 已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $1 > m > n > 0$ ，设 $a = m^{l n n}$ ， $b = n^{l n m}$ ， $c = n^{l n n}$ ，则( )

A、 $a = b > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > a = b$

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7. 已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、-2 D、-1

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8. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $∠ D A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A D = 4$ ， $A B = 2 B D$ ，且 $△ A D C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $s i n ∠ A B D =$ ( )

A、 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{4}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列命题不正确的是( )

A、棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似 B、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C、若 $α \cap β = l$ ，直线 $a \subset$ 平面 $α$ ，直线 $b \subset$ 平面 $β$ ，且 $a \cap b = P$ ，则 $P \in l$ D、若 $n$ 条直线中任意两条共面，则它们共面

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10. 已知 $z$ 是复数，且 $\frac{z + 1}{z - 1}$ 为纯虚数，则( )

A、 $| \bar{z} | = 1$ B、 $z \cdot \bar{z} = 1$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在实轴上 D、 $| z - 2 - 2 i |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 1$

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11. 已知锐角 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2 .$ 则下列结论正确的是( )

A、 $△ A B C$ 的面积最大值为 $2$ B、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为 $(0,4)$ C、 $b c o s A + a c o s B = 2$ D、 $\frac{c o s B}{c o s A}$ 的取值范围为 $(0, + \infty)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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13. 已知 $α + β = \frac{π}{3} (α > 0, β > 0)$ ，则 $t a n α + t a n β$ 的最小值为．

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14. 已知 $f (x) = m (x - 2 m) (x + m + 3)$ ， $g (x) = 2^{x} - 2 .$ 若 $\forall x \in R$ ， $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.

(1)、已知正四棱锥的底面边长是 $6$ ，侧棱长为 $5$ ，求该正四棱锥的体积；

(2)、如图 $($ 单位： $c m)$ ，求图中阴影部分绕 $A B$ 旋转一周所形成的几何体的体积．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 \sqrt{7} b c o s A s i n B + a c o s 2 B - a = 0$ ．

(1)、求 $t a n A$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，点 $M$ 是 $A B$ 的中点，且 $C M = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0,2 π]$ 上的单调递减区间；

(2)、若 $g (x) = f (x) - \frac{8}{5}$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上恰有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $c o s (x_{1} - x_{2})$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $m$ 、 $n$ 都满足等式 $f (m - n) + f (m + n) = f (2 m)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (2) = - 4$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，求 $f (x)$ 在区间 $[- 3,5]$ 上的最大值；

(3)、是否存在实数 $a$ ，对于任意的 $x \in [- 1,1]$ ， $b \in [- 1,1]$ ，使得不等式 $f (x) < a^{2} - 2 a b + 2$ 恒成立．若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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19. 如果函数 $y = f (x)$ 满足以下两个条件，我们就称 $y = f (x)$ 为 $L$ 型函数．
$①$ 对任意的 $x \in (0,1)$ ，总有 $f (x) > 0$ ；
$②$ 当 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$ ， $x_{1} + x_{2} < 1$ 时，总有 $f (x_{1} + x_{2}) < f (x_{1}) + f (x_{2})$ 成立．

(1)、记 $g (x) = x^{2} + \frac{1}{2}$ ，求证： $y = g (x)$ 为 $L$ 型函数；

(2)、设 $b \in R$ ，记 $p (x) = l n (x + b)$ ，若 $y = p (x)$ 是 $L$ 型函数，求 $b$ 的取值范围；

(3)、是否存在 $L$ 型函数 $y = r (x)$ 满足：对于任意的 $m \in (0,4)$ ，都存在 $x_{0} \in (0,1)$ ，使得等式 $r (x_{0}) = m$ 成立？请说明理由．

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