湖北省部分普通高中联盟2023-2024学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $s i n 72 ° c o s 42 ° - c o s 72 ° s i n 42 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

查看试题解析
2. 已知 $s i n (α - \frac{π}{6}) + c o s α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

查看试题解析
3. 若 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\frac{s i n α - c o s α}{s i n α + c o s α} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
4. “ $c o s 2 α = - \frac{1}{2}$ ”是“ $c o s α = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 已知 $\sin θ + \sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
6. 要得到函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，只需要将函数 $g (x) = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象上所有的点（）

A、纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） B、纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（横坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位．然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C、纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） D、纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（横坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

查看试题解析
7. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为边 $B C$ 上的中线， $E$ 为边 $A D$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E B}$ 可用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示为（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$

查看试题解析
8. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{2}{5}, 0)$ C、 $(- \frac{4}{5}, - \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知 $f (x) = 2 c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n 2 ω x - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{6}]$ 上为增函数 C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $y = f (x)$ 图象一条对称轴 D、点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心

查看试题解析
10. 下列叙述中错误的是（）

A、已知非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反 B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $3 \vec{a} > 2 \vec{b}$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ D、对任一非零向量 $\vec{a}$ ， $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ 是一个单位向量

查看试题解析
11. 在三角形 $A B C$ 中，下列命题正确的有（）

A、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 5$ ，则三角形 $A B C$ 有两解 B、若 $0 < t a n A \cdot t a n B < 1$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 C、若 $c o s (A - B) c o s (B - C) c o s (C - A) = 1$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形 D、若 $a - b = c \cdot c o s B - c \cdot c o s A$ ，则 $△ A B C$ 的形状是等腰或直角三角形

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分。

12. 把函数 $f (x) = - 3 c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，设所得图象的解析式为 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 是奇函数，则最小的正数 $m$ 是．

查看试题解析
13. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = | \vec{c} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ ．

查看试题解析
14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $s i n A + s i n B = \frac{5}{4} s i n C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为9， $△ A B C$ 的面积为 $3 s i n C$ ，则 $c =$ ， $c o s C =$ ．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知 $t a n (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{4})$ ．

(1)、求 $\frac{s i n 2 α + 2 c o s^{2} α}{1 + t a n α}$ 的值；

(2)、若 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $s i n β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $a + β$ 的值．

查看试题解析
16. 如图，在扇形OAB中， $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ，半径 $O A = 2$ .在 $\overset{⌢}{A B}$ 上取一点M，连接 $O M$ ，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.

(1)、设 $∠ A O M = x$ ，将四边形MEOF的面积S表示成 $x$ 的函数，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、求四边形MEOF的面积S的最大值.

查看试题解析
17. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, k)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $| \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角，求实数 $k$ 的取值范围．

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = b + c$ ．

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a + 1 = c$ ， $b > 2$ ，当 $△ A B C$ 的周长最小时，求 $b$ 的值；

(3)、若 $\vec{B D} = 3 \vec{D A}$ ， $c o s B = \frac{11}{14}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $20 \sqrt{3}$ ，求 $C D$ 的长度．

查看试题解析
19. 老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区： $△ B N C$ 区域规划为枇杷林和放养走地鸡， $△ C M A$ 区域规划为民宿供游客住宿及餐饮， $△ M N C$ 区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘 $△ M N C$ 周围筑起护栏，已知 $A C = 40 m$ ， $B C = 40 \sqrt{3} m$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ M C N = 30 °$ ．

(1)、若 $A M = 20 m$ ，求护栏的长度（即 $△ M N C$ 的周长）；

(2)、若鱼塘 $△ M N C$ 的面积是民宿 $△ C M A$ 面积的 $\sqrt{3}$ 倍，求 $∠ A C M$ ．

查看试题解析