湖北省云学联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $U = {2, 3, 4, 5, 7}, A = {2, 3}, B = {3, 5, 7}$ ，则图中阴影部分表示的集合为( )

A、 ${2, 3, 5, 7}$ B、 ${2, 3, 4}$ C、 ${2}$ D、 ${2, 3, 4, 7}$

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2. “ $α$ 是第一象限角”是“ $s i n α > 0$ ”的( )条件

A、充要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要

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3. 已知复数 $z = \frac{1 + m i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ ，若 $z$ 为纯虚数，则复数 $z + m$ 在复平面内对应的点在第( )象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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4. 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是( )

A、 $b = 1, A = 4 5^{°}, C = 6 0^{°}$ B、 $a = 1, c = 2, B = 6 0^{°}$ C、 $a = 3, b = 1, B = 12 0^{°}$ D、 $a = 3, b = 4, A = 4 5^{°}$

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5. 若 $m, n \in R$ ，且 $| m | < n$ ，则下列结论一定成立的是( )

A、 $m^{2} > n^{2}$ B、 $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$ C、 $m < n$ D、 $m < - n$

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6. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (- x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (3) =$ ( )

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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7. 计算下列各式的值，其结果为2的是( )

A、 $t a n 1 5^{°} + t a n 7 5^{°}$ B、 $\frac{1}{c o s 8 0^{°}} - \frac{\sqrt{3}}{s i n 8 0^{°}}$ C、 $(1 + t a n 1 8^{°}) (1 + t a n 2 7^{°})$ D、 $8 c o s 2 0^{°} c o s 4 0^{°} c o s 6 0^{°} c o s 8 0^{°}$

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8. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{17 π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- π, 0]$ 上的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12}, 0]$ D、 $f (x)$ 在 $[- π, a]$ 内有3个最大值点，则 $a \in [\frac{13 π}{12}, \frac{25 π}{12})$

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二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (x, - 3)$ ，则下列命题正确的是( )

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = 3 \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \sqrt{3}$ C、若 $x = - \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $x$ 的取值范围为 $(- \infty, \sqrt{3})$

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10. 如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心 $O$ 点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点处，下列结论正确的是( )

A、经过12分钟，点 $P$ 首次到达最低点 B、第16分钟和第32分钟点 $P$ 距离地面一样高 C、从第28分钟至第40分钟点 $P$ 距离地面的高度一直在降低 D、摩天轮在旋转一周的过程中，点 $P$ 有8分钟距离地面的高度不低于80米

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11. 已知函数 $f (x) = x c o s x - s i n x$ 在区间 $(0, 3 π)$ 内有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则下列结论正确的是( )

A、当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $t a n x > x$ B、 $| x_{1} - x_{2} | > π$ C、 $s i n (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > 0$ D、 $x_{1} s i n x_{2} + x_{2} s i n x_{1} < 0$

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三、填空题:本题共3小题,每小題5分,共15分.

12. 已知 $α, β$ 都是锐角， $s i n α = \frac{4}{5}, c o s (α + β) = \frac{5}{13}$ ，则 $s i n (π - β) =$ .

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13. 已知正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点， $F$ 为边CD的中点， $P$ 为线段AB上的动点，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最小值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $3 s i n^{2} A + 2 s i n^{2} B = s i n C (s i n C + 2 s i n A s i n B)$ ，则 $s i n A =$ .

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四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (3 - m x), g (x) = l o g_{2} (x + 1)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m = 2$ ，解不等式 $f (x) + g (x) < 1$ .

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16. 已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{a^{2} s i n B s i n C}{2 \sqrt{3} c o s A}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ，且 $b + c = 4$ ，求 $b, c$ .

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17. 设虚数 $z = a + b i (a, b \in R), m = z + \frac{1}{z}$ 是实数，且 $- 1 \leq m \leq 1$ .

(1)、求|z|的值以及 $z$ 的实部的取值范围；

(2)、若 $ω = - \frac{b}{1 + a} i$ ，求 $m - ω^{2}$ 的最小值.

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18. 如图，已知 $△ A B C 、 △ D E F$ 均为等边三角形， $△ A B C$ 的边长为 $\sqrt{7}, D 、 E 、 F$ 分别为 $B E 、 C F 、 A D$ 的中点.

(1)、用基底 ${\vec{A B}, \vec{A C}}$ 表示向量 $\vec{A D}$ ；

(2)、延长AD与BC交于点 $M$ ，延长AE与BC交于点 $N$ ，求 $| \vec{M N} |$ .

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19. 已知函数 $f (x) = s i n^{4} x + c o s^{4} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上所有的点向下平行移动 $\frac{3}{4}$ 个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.
①求 $y = f (x) + g (x + \frac{π}{4})$ 的值域；
②当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时， $2 a g (x + \frac{π}{6}) + g (x - \frac{π}{12}) > \frac{1}{4} a - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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