四川省泸州市泸县普通高中共同体2023-2024学年高二下学期数学期中联合考试试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合题目要求）

1. 等差数列5，8，11，14，…的第11项为（）

A、29 B、32 C、35 D、37

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2. 已知直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + m y + m + 3 = 0$ 互相垂直，则m为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从 $A, B, C, D$ 四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过 $A$ 景点，所以甲不选 $A$ 景点，则不同的选法有（）

A、60 B、48 C、54 D、64

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4. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、 $x = 4$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(4, 5)$ 上单调递增

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5. 设函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ．若 $f (x) = f^{'} (π) x^{2} - c o s x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，则点 $A_{1}$ 到面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{5}$

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7. 函数 $f (x) = l n x$ 图象上的点到直线 $y = x$ 的距离的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{l n 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + \ln x - x$ 有唯一的极值点 $t$ ，则 $f (t)$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列选项正确的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (3) = - \frac{1}{9}$ B、 $y = x^{3} + s i n 2$ ，则 $y^{'} = 3 x^{2} + c o s 2$ C、 $y = l n (2 x)$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{2 x}$ D、设函数 $f (x) = x l n x$ ，且 $f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} = e$

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10. 已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{2 m - 4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ ，点 $P (x, y)$ 为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（）

A、若 $m = 10$ ，则曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、若 $m = 1$ ，则曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上 D、若曲线C是圆，则 $x - y$ 的最大值为4

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11. 函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in R)$ 的图象如图所示，则以下结论正确的有（）

A、 $a > 0$ B、 $b < 0$ C、 $c < 0$ D、 $a + b + c > 0$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a_{1} = - 1$ B、 $S_{5} = - 32$ C、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、数列 ${S_{n} - 1}$ 的前n项和为 $2 - 2^{n + 1}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. ${(x - 1)}^{6}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数为．

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14. 已知事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.6$ ， $P (A B) = 0.42$ ，则 $P (A + B) =$ ．

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15. 已知直线 $l : m x - y = 1$ ，动直线l被圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 24 = 0$ 截得弦长的最小值为

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16. 若函数 $h (x) = l n x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 在 $[1, 4]$ 上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是

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四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的最值．

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18. 某仓库有甲、乙两箱产品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品．

(1)、从甲箱中任取2件产品，求事件A＝“这2件产品中至少有1件次品”的概率；

(2)、从甲、乙两箱中各取1件产品，求事件B＝“这2件产品中恰好有1件次品”的概率．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列， $S_{5} = 15$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {\begin{cases} a_{n}, n 为奇数 \\ 2^{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ．

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20. 已知长方体 $A C_{1}$ 中，棱 $A B = B C = 1$ ，棱 $B B_{1} = 2$ ，连接 $B_{1} C$ ，过B点作 $B_{1} C$ 的垂线交 $C C_{1}$ 于E，交 $B_{1} C$ 于F．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ 平面 E B D$ ；

(2)、求直线DE与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $Q (1, 0)$ 的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点 $P (4, 3)$ ，记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，当 $k_{1} \cdot k_{2}$ 最大时，求直线l的方程．

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22. 已知 $f (x) = a {(x - 1)}^{2} - \frac{b x}{e^{x}}$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $2 b x + y - 1 = 0$ ，求a，b的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点，求b的取值范围．

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