广东省茂名市高州市2024届高三下学期适应性考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | | x - 2 | \geq 1}$ ， $B = {x | 2 \leq x < 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合是( )

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 2 \leq x < 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 4}$ D、 ${x | 2 < x \leq 4}$

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2. 若复数 $(1 - 3 i) z = 3 - i$ （i为虚数单位），则 $| z | - z$ 在复平面内对应的点位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = 4 (a_{2} + a_{k})$ ，则 $k =$ ( )

A、4 B、6 C、7 D、9

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4. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下面结论正确的是( )

A、若 $a b = 4$ ，则 $a + b \leq 4$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a + 2 b = 2$ ，则 $2^{a} + 4^{b}$ 有最小值4 D、若 $a > b > m > 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{a + 1} = 1$ 的离心率e的可能取值为( )

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、3

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6. 如图，已知正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，对称中心为O ，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C M}$ 的取值范围为( )

A、 $[- 24, 16]$ B、 $[0, 32]$ C、 $[- 32, 0]$ D、 $[- 12 \sqrt{3}, 0]$

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7. 自“ $C h a t G P T$ ”横空出世，全球科技企业掀起一场研发 $A I$ 大模型的热潮，随着 $A I$ 算力等硬件底座逐步搭建完善， $A I$ 大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用． $S i g m o i d$ 函数和 $T a n h$ 函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数， $T a n h$ 函数的解析式为 $t a n h x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，经过某次测试得知 $t a n h x_{0} = \frac{3}{5}$ ，则当把变量减半时， $t a n h \frac{x_{0}}{2} =$ ( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、1 D、 $\frac{1}{3}$ 或3

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8. 若正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ， M为棱 $P A$ 上的动点，则当三棱锥 $M - A B C$ 的外接球的体积最小时，三棱锥 $M - A B C$ 的体积为( )

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ，对任意实数x都有 $f (x) \leq | f (\frac{π}{8}) |$ ，则下列结论正确的是( )

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $φ = \frac{π}{4}$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有一个零点

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10. 某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则( )

A、 $P (A_{1} A_{2}) = 0$ B、 $P (B | A_{1}) = \frac{1}{2}$ C、 $P (B) = \frac{13}{30}$ D、 $P (A_{2} | B) = \frac{9}{16}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ， $f (x + y) - f (x - y) = f (x + \frac{3}{2}) f (y + \frac{3}{2})$ ， $f (0) \neq 0$ ，则( )

A、 $f (\frac{3}{2}) = 0$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (0) = - 2$ D、 $f (x)$ 的一个周期为3

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{4}$ 的展开式中的常数项为．

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13. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 4 \sqrt{2}$ ，点 $B_{1}$ 在底面 $A B C D$ 的射影为 $B C$ 中点H ，则直线 $A D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为．

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14. 已知a ， b ， c为 $△ A B C$ 的三边长 $(a < b)$ ，且a ， b为函数 $f (x) = a x^{2} - b x + c$ 的两个零点，若 $M > a + b - c$ 恒成立，则M的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，A ， B ， C分别为边a ， b ， c所对的角，且满足 $a + \frac{c}{2} + b c o s (A + B) = 0$ ．

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、 $∠ A$ 的角平分线 $A D$ 交 $B C$ 边于D ，向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B D}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{B D}$ ， $| B D | = 1$ ，求 $| A C |$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $x f (x) \leq a (x^{2} - 1)$ ，求a的取值范围．

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17. 《中华人民共和国爱国主义教育法》已于2024年1月1日起施行．该法以法治方式推动和保障新时代爱国主义教育，对于传承和弘扬民族精神，凝聚力量，推进强国建设、民族复兴，意义重大而深远．某社区为了了解社区居民对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解，针对社区居民举办了一次关于《中华人民共和国爱国主义教育法》的知识竞赛，满分100分（95分及以上为优秀），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的第74百分位数；

(2)、在第四组和第五组中随机抽取3人，记这3人中年龄在第四组中的人数为X ，求X的分布列和数学期望；

(3)、若第二组社区居民的年龄的平均数与方差分别为26和2，第三组社区居民的年龄的平均数与方差分别为32.5和3.75，求这20人中年龄在区间 $[25, 35)$ 上的所有人的年龄的方差．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点A和上顶点为B关于直线 $4 x - 2 \sqrt{3} y - 1 = 0$ 对称．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点P ， Q为椭圆C上两个动点，直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ， $B D ⊥ P Q$ ， D为垂足，求 $| A D |$ 的最小值．

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19. 已知集合 $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}} \subseteq N^{*}$ ，其中 $n \in N$ 且 $n \geq 3$ ， $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n}$ ，若对任意的x ， $y \in A (x \neq y)$ ，都有 $| x - y | \geq \frac{x y}{k}$ ，则称集合A具有性质 $M_{k}$ ．

(1)、集合 $A = {1, 2, 4, m}$ 具有性质 $M_{5}$ ，求m的最小值；

(2)、已知A具有性质 $M_{20}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{n - 1}{20}$ ；

(3)、已知A具有性质 $M_{20}$ ，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．

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