浙江省金华十校2024届高三4月模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 3} ， B = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ，则 $A ∩ B$ =（）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. $\frac{i}{2 + i}$ =（）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} i$ D、 $\frac{1}{3} - \frac{2}{3} i$

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3. 设 $α \in (0, π)$ ，条件 $p : s i n α = \frac{1}{2}$ ，条件 $q : c o s α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则p是q的（）

A、充分不要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设直线 $l : x - 2 y - a^{2} = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，则l与圆C（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、以上都有可能

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为正数，公差为d ． $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{2} = 3$ ，且 $S_{2}$ ， $S_{1} + S_{3}$ ， $S_{5}$ 成等比数列，则d=（）

A、1 B、2 C、 $\frac{9}{2}$ D、2或 $\frac{9}{2}$

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6. 在△ABC中， $s i n B = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ， $C = 120 °$ ， $B C = 2$ ，则△ABC的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）

A、72种 B、48种 C、36种 D、24种

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8. 已知 $c o s (α - β) = \frac{1}{3}$ ， $s i n α s i n β = - \frac{1}{12}$ ，则 $c o s^{2} α - s i n^{2} β =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 $50 \sim 350 K W \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为 $s_{i}$ （ $i = 1$ ， 2， $⋯$ ， 6），则（）

A、x的值为0.0044 B、这100户居民该月用电量的中位数为175 C、用电量落在区间 $[150, 350)$ 内的户数为75 D、这100户居民该月的平均用电量为 $\sum_{i = 1}^{6} (50 i + 25) s_{i}$

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10. 已知 $0 < a < b < 1 ， m > n > 1$ ，则（）

A、 $b^{a} > a^{b}$ B、 $m^{n} > n^{m}$ C、 $l o g_{b} a > l o g_{m} n$ D、 $l o g_{a} n > l o g_{b} m$

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11. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， E为线段 $A B$ 的中点，将 $\begin{array}{l} △ \end{array} A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $\begin{array}{l} △ \end{array} A_{1} D E$ ．若M为线段 $A_{1} C$ 的中点，则在 $\begin{array}{l} △ \end{array} A D E$ 从起始到结束的翻折过程中，（）

A、存在某位置，使得 $D E ⊥ A_{1} C$ B、存在某位置，使得 $C E ⊥ A_{1} D$ C、 $M B$ 的长为定值 D、 $M B$ 与 $C D$ 所成角的正切值的最小值为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \leq 0 \\ l n x, x > 0 \end{array},$ 若 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线互相垂直，则 $x_{0} =$ ．

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14. 设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦距，它们的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $C_{1}, C_{2}$ 在第一象限的交点为P ，若点P在直线 $y = x$ 上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．

(1)、记两次点数之和等于7为事件A ，第一次点数是奇数为事件B ，证明：事件A ， B是独立事件；

(2)、现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．

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16. 设 $f (x) = s i n x c o s x + a c o s x ， x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的值域：

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点，求实数a的取值范围．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形， $A A_{1} = A_{1} B$ ．

(1)、求证：三棱锥 $A_{1} - A B C$ 是正三棱锥

(2)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值

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18. 设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $x = - 1$ 是抛物线C的准线，且与x轴交于点B ，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M ， N ， $A (1, n)$ 是不在直线l上的一点，直线AM ， AN分别与准线交于P ， Q两点．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、证明： $| B P | = | B Q |$ ；

(3)、记△AMN ， △APQ的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，求直线l的方程．

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19. 设p为素数，对任意的非负整数n ，记 $n = a_{0} p^{0} + a_{1} p^{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k} p^{k}$ ， $W_{p} (n) = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{k}$ ，其中 $a_{i} \in {0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, p - 1} (0 \leq i \leq k)$ ，如果非负整数n满足 $W_{p} (n)$ 能被p整除，则称n对p“协调”．

(1)、分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；

(2)、判断并证明在 $p^{2} n$ ， $p^{2} n + 1$ ， $p^{2} n + 2$ ， …， $p^{2} n + (p^{2} - 1)$ 这 $p^{2}$ 个数中，有多少个数对p“协调”；

(3)、计算前 $p^{2}$ 个对p“协调”的非负整数之和．

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