湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 下列导数运算正确的是（）

A、 ${(s i n \frac{π}{3})}^{^{'}} = c o s \frac{π}{3}$ B、 ${(l o g_{3} x)}^{^{'}} = \frac{1}{x} \cdot l o g_{3} e$ C、 ${(e^{2 x})}^{^{'}} = e^{2 x}$ D、 ${(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{^{'}} = \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}$

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2. 已知二项式 ${(2 x - 1)}^{n}$ 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (\frac{π}{3}) + s i n x$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（）

A、240 B、480 C、384 D、1440

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5. 若点P是曲线 $y = l n x - x^{2}$ 上任意一点，则点P到直线l： $x + y - 4 = 0$ 距离的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（）

A、350 B、140 C、560 D、280

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7. 若 ${(1 + x)}^{16} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{15} x^{15} + a_{16} x^{16}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} + a_{8}$ 的值为（）

A、 $2^{15} - C_{16}^{8}$ B、 $2^{15} - \frac{1}{2} C_{16}^{8}$ C、 $2^{15} + \frac{1}{2} C_{16}^{8}$ D、 $2^{15} + C_{16}^{8}$

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8. 若曲线 $y = l n x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 x + a (x < 0)$ 有公切线，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- l n 2 - 1, + \infty)$ B、 $[- l n 2 - 1, + \infty)$ C、 $(- l n 2 + 1, + \infty)$ D、 $[- l n 2 + 1, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. ${(x - \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、展开式共7项 B、x项系数为－280 C、所有项的系数之和为1 D、所有项的二项式系数之和为128

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10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）

A、四名同学的报名情况共有4³种 B、“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种 C、“四名同学最终只报了两个项目”的概率是 $\frac{14}{27}$ D、 $P (B | A) = \frac{1}{6}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值为 $\frac{1}{e}$ B、函数 $f (x)$ 在点（1，0）处的切线方程为 $y = x - 1$ C、 $202 3^{2024} > 202 4^{2023}$ D、若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = x^{α}$ 无交点，则 $α$ 的取值范围是 $(\frac{1}{e} - 1, + \infty)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $C_{16}^{k} = C_{16}^{2 k - 2}$ ，则 $k =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} e^{x}, x > 0 \\ - 2 x^{2} - 4 x + 1, x \leq 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k x$ 恰好有两个零点，则实数k等于．

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14. 已知当 $x \geq e$ 时，不等式 $x^{a} + \frac{1}{x} - e^{\frac{1}{x}} \geq a l n x$ 恒成立，则正实数a的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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16. 在6名内科医生和4名外科医生中，包含内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？

(1)、有3名内科医生和2名外科医生；

(2)、既有内科医生，又有外科医生；

(3)、至少有1名主任参加；

(4)、既有主任，又有外科医生．

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17. 某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{5}{12}$ ．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．

(1)、求选到的学生是艺术生的概率；

(2)、如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．

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18. 某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为 $x$ 万元，可获得的加工费为 $\frac{1}{2} l n (2 x + 1) - m x$ 万元，其中 $m \in (0 ， 1)$ ．

(1)、若 $m = \frac{1}{201}$ ，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额 $x$ 的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额 $x ($ 单位：万元 $)$ 应在什么范围内？

(2)、若该企业加工产品订单的金额为 $x$ 万元时共需要的生产成本为 $\frac{1}{20} x$ 万元，已知该企业加工生产能力为 $x \in [20 ， 30] ($ 其中 $x$ 为产品订单的金额 $)$ ，试问 $m$ 在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

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19. 设函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x} (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，
①求a的取值范围；
②证明： $2 a < x_{1} + x_{2} < 1$ ．

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