湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一（下）期中数学试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + a \neq 0$ ，则( )

A、 $^{￢} p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + a = 0$ B、 $^{￢} p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + a = 0$ C、 $^{￢} p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + a \neq 0$ D、 $a = 2$ 时， $p$ 为真命题

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2. 已知集合 $P = {x \in N | x (x - 3) \geq 0}$ ， $Q = {2,4}$ ，则 $(∁_{N} P) \cup Q =$ ( )

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1,2}$ D、 ${1,2, 4}$

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3. “a>b>0”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列函数中最小正周期为 $π$ ，且在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增的是( )

A、 $y = s i n x$ B、 $y = | s i n x |$ C、 $y = c o s x$ D、 $y = | c o s x |$

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5. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的平面向量，向量 $\vec{A B} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{a} - μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ，若 $\vec{A B} / / \vec{A C}$ ，则有
( )

A、 $λ + μ = 2$ B、 $λ - μ = 1$ C、 $λ μ = - 1$ D、 $λ μ = 1$

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6. 如图，在圆 $C$ 中， $C$ 是圆心，点 $A$ ， $B$ 在圆上， $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值( )

A、只与圆 $C$ 的半径有关 B、只与弦 $A B$ 的长度有关 C、既与圆 $C$ 的半径有关，又与弦 $A B$ 的长度有关 D、是与圆 $C$ 的半径和弦 $A B$ 的长度均无关的定值

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7. 已知 ${l o g}_{18} 9 = a$ ， $18^{b} = 5$ ，则 ${l o g}_{45} 81 =$ ( )

A、 $- \frac{a}{a + b}$ B、 $\frac{2 - a}{a b}$ C、 $\frac{2 a}{a + b}$ D、 $\frac{2 - a}{a + b}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) - 1 (ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 7]$ 上恰有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3})$ B、 $[\frac{2 π}{3} ， 2 π)$ C、 $[\frac{8 π}{21} ， \frac{3 π}{7})$ D、 $[\frac{8 π}{21} ， \frac{4 π}{7})$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, \frac{1}{2})$ ，则( )

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 在定义域上为减函数 C、函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ D、当 $x_{2} > x_{1} > 0$ 时， $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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10. 若 $x$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则( )

A、 $x y \leq \frac{1}{8}$ B、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y} \leq \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 10$ D、 $x^{2} + 4 y^{2} \geq \frac{1}{2}$

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11. 如图，一个半径为 $3 m$ 的筒车，按逆时针方向匀速旋转 $1$ 周 $.$ 已知盛水筒 $P$ 离水面的最大距离为 $5.2 m$ ，旋转一周需要 $60 s .$ 以 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间， $P$ 到水面的距离 $d ($ 单位： $m) ($ 在水面下则 $d$ 为负数 $)$ 与时间 $t ($ 单位： $s)$ 之间的关系为 $d = A s i n (ω t + φ) + K (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ， $t \in [0,60]$ ，下列说法正确的是( )

A、 $K = 2.2$ B、 $ω = \frac{π}{30}$ C、 $s i n φ = \frac{2.2}{3}$ D、 $P$ 离水面的距离不小于 $3.7 m$ 的时长为 $20 s$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ，则 $B C$ 边上的高的长度为．

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13. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 在边 $B C$ 上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的最大值为．

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14. 某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点，且存在 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，使得 $x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A O B}$ ： $S_{△ A O C}$ ： $S_{△ C O B} = z$ ： $y$ ： $x .$ 请以此结论回答：已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{4}$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知 $f (α) = \frac{s i n (- α - \frac{5 π}{2}) c o s (\frac{3 π}{2} + α) t a n^{2} (π - α)}{c o s (\frac{π}{2} - α) s i n (π + α)}$

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α$ 的值．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) = 43$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(3)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值．

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c .$ 若 $(2 a + c) c o s B + b c o s C = 0$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、设 $M$ 是 $A C$ 的中点，且 $B M = \frac{\sqrt{14}}{2}, a = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} {c o s}^{4} x + \sqrt{3} s i n x c o s x - \frac{1}{2} {s i n}^{4} x + m$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，

(1)、求常数 $m$ 的值，并求函数 $f (x)$ 取最大值时相应 $x$ 的集合；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{x} + a x + a - 3) (a \geq 0)$

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 有意义时 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x > 0$ 时都有意义，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = {l o g}_{2} (2 x + a - 3) + 1$ 有且仅有一个解，求实数 $a$ 的取值范围．

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