湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 5}$ ， $B = {1, 3, 5}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1, 3, 4}$ B、 ${3, 4}$ C、 ${2, 4, 6}$ D、 ${2, 4}$

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2. 复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 3 - i$ ，则 $| z |$ 等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. “ $0 < k < 1$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{k} = 1$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} (x < 1) \\ \log_{2} x (x \geq 1) \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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5. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{2} = 4, S_{4} = 22$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、65 B、55 C、45 D、35

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6. 有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（）

A、180种 B、150种 C、90种 D、60种

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7. 关于函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，下列说法正确的是（）
① $f (x)$ 有两个极值点 ② $f (x)$ 的图象关于原点对称
③ $f (x)$ 有三个零点 ④ $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递减

A、①④ B、②④ C、①③④ D、①②③

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8. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为 $C$ 上一点，满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，以 $C$ 的短轴为直径作圆 $O$ ，截直线 $P F_{1}$ 的弦长为 $\sqrt{3} b$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 设 $m$ ， $n$ 为不重合的两条直线， $α, β$ 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ 且 $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α$ 且 $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $m ∥ α$ 且 $m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ α$ 且 $m ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、将函数 $y = f (x)$ 的图象右移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到一个奇函数 C、 $x = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个对称中心

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11. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R, f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (x)$ 不恒为0，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、若 $f (1) = 0$ ，则 $f (x)$ 关于 $(1, 0)$ 中心对称 D、若 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 4048$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (- 4, x)$ ，若 $\vec{b}$ 与 $(\vec{a} + \vec{b})$ 共线，则实数 $x =$ ．

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13. $(1 + 2 x^{2}) (1 + x)^{3}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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14. 若函数 $f (x) = x^{2} - a x + l n x$ 在区间 $(1, e)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + c o s 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $f (A) = 1$ ， $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 如图，已知多面体 $F A B C D E$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $D E ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D E ∥ A F$ ，且 $F A = 2 D E = 2$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ；

(2)、求四棱锥 $C - A D E F$ 的体积；

(3)、求平面 $F C E$ 与平面 $F A B$ 所成角的余弦值．

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17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占 $\frac{4}{5}$ ，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。
附： $x^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.050
0.010
0.005
0.001

$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、求a ，并估计参与调查者的平均年龄；

(2)、把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表。请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值 $α = 0.050$ 的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？

关注民生问题
不关注民生问题
合计
青少年

中老年

10

合计

200

(3)、将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为 $Y$ ，求随机变量 $Y = 2$ 时的概率和随机变量 $Y$ 的数学期望 $E (n)$ ．

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18. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时，
$f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, 0 \leq x \leq 2 \\ | x - 6 |, x > 2 \end{array}$

(1)、①作出函数 $f (x)$ 在 $[- 10, 10]$ 上的图象；
②若方程 $f (x) = a$ 恰有6个不相等的实根，求头数 $a$ 的取值范围；

(2)、对于两个定义域相同的函数 $s (x)$ 和 $t (x)$ ，若 $g (x) = s (x) - t (x)$ ，则称函数 $g (x)$ 是由“基函数 $s (x)$ 和 $t (x)$ ”生成的．已知 $g (x)$ 是由“基函数 $s (x) = l o g_{2} (x^{2} + 1)$ 和 $t (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ”生成的，若 $\forall x_{1} \in R, \exists x_{2} \in [1, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) + 3 a \geq g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的最小值．

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19. 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划．活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售．摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ 的同学有购买意向．假设三个班的人数比例为6：7：8．

(1)、现从三个班中随机抽取一位同学；
（ⅰ）求该同学有购买意向的概率；
（ⅱ）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；

(2)、对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）．

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	关注民生问题	不关注民生问题	合计
青少年
中老年		10
合计			200

$α$	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828