江西省南昌市南昌县2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$ D、 $\sqrt{2} \div \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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3. 下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、2， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ C、8，24，25 D、9，12，15

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4. 如图，在数抽上点 $B$ ，点 $C$ 表示的数分别为4，1， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 1$ ，以 $B$ 点为圆心，AB长为半经画弧，交数轴于点 $D$ ，则 $D$ 点表示的数是（）

A、 $4 - \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{10} - 4$ D、 $4 - \sqrt{5}$

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5. 若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的斜边长是（）

A、5 B、 $\sqrt{41}$ C、3或 $\sqrt{41}$ D、5或 $\sqrt{41}$

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B - ∠ A = 20 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、80° B、90° C、100° D、110°

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7. 下列命题是真命题的是（）

A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B、对角线互相平分且相等的是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形

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8. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为（）

A、65 B、120 C、130 D、240

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9. 当x时，二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有意义．

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10. 若实数x、y满足 $y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + \frac{1}{2}$ ，则 $x y =$ ．

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11. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角，若DF＝2cm．BC＝16cm，则AC的长为cm．

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12. 如图，长方形 $A B C D$ 纸片的边CD上有一点 $E$ ，将长方形 $A B C D$ 纸片沿 $A E$ 折叠，点 $D$ 恰好落在BC边上的点 $F$ 处，若 $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，则 $C E =$ ．

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13. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线AC、BD相交于点 $O$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，则BD的长为．

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交直线AD于点 $E$ ， $A B = 4$ ， $D E = 1$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的周长为．

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三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{4} - (π - \sqrt{3})^{0} + | 1 - \sqrt{2} |$ ；

(2)、 $\sqrt{6} \times \sqrt{2} + \sqrt{24} \div \sqrt{3} - \sqrt{48}$ ．

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ 在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．

(1)、在图1中，在AB上找一点 $F$ ，使 $C F = A E$ ；

(2)、在图2中，在AD上找一点 $G$ ，使 $C G / / A E$ ．

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17. 已知 $a = \sqrt{7} + 2$ ， $b = \sqrt{7} - 2$ ，求 $a b^{2} + b a^{2}$ 的值．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ 、 $N$ 分别是 $A D$ 和 $B C$ 上的点，且 $A M = C N$ ，求证：四边形 $M B N D$ 是平行四边形．

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四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③小明放风筝牵线的高度为1.7米．

(1)、求风筝的垂直高度CE；

(2)、如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是BC边上的中线，点 $E$ 是AD的中点，过点 $A$ 作 $A F / / B C$ 交BE的延长线于点 $F$ ，连接CF ， DF ．

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 6 c m$ ， $△ A C F$ 的面积为 $12 c m^{2}$ ，求AD的长．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点 $G$ 在BC的延长线上，CE平分 $∠ B C D$ ， $C F$ 平分 $∠ G C D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ C E$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ C F$ 于点 $F$ ．

(1)、求证：四边形 $D E C F$ 是矩形；

(2)、添加一个条件 ▲ ，使四边形 $D E C F$ 是正方形（写出证明过程）。

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五、（本大题共1小题，每小题10分，共10分）

22. 阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，可以将其进一步化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2017}}$ ．

(2)、已知 $m$ 是正整数， $a = \frac{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}$ ， $b = \frac{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}$ ， $a + b + 2 a b = 2024$ ，求 $m$ ．

(3)、已知 $\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{26 - x^{2}} = 1$ ，求 $\sqrt{15 + x^{2}} + \sqrt{26 - x^{2}}$ 的值．

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