河北省石家庄市新乐市2024年中考模拟数学试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1—6小题各3分；7—16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 点 $P (2, - 4)$ 到x轴的距离是（）

A、2 B、-4 C、-2 D、4

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2. 化简 $\frac{a + 1}{a} - \frac{1}{a}$ 结果正确的是（）

A、1 B、 $a$ C、 $\frac{1}{a}$ D、 $- \frac{1}{a}$

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3. -8的立方根是（）

A、 $\pm 2$ B、2 C、-2 D、不存在

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4. 若 $() \cdot 2 a^{2} b = 2 a^{3} b$ ，则括号内应填的单项式是（）

A、a B、 $2 a$ C、 $a b$ D、 $2 a b$

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5. 解不等式 $\frac{1 + 4 x}{3} > x - 1$ ，下列在数轴上表示的解集正确的是（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 中国的探月、登月计划受到世人的关注，中国人何时在月球上留下第一行脚印，在这里插上鲜艳的五星红旗？月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为（）

A、 $38.4 \times 1 0^{4}$ B、 $3.84 \times 1 0^{5}$ C、 $0.384 \times 1 0^{6}$ D、 $3.84 \times 1 0^{6}$

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7. 已知 $k = \sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ ，则与k最接近的整数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $O C ， O D$ ，则 $∠ B A E - ∠ C O D =$ （）

A、 $60 °$ B、 $54 °$ C、 $48 °$ D、 $36 °$

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9. 如图，在 $∠ A O B$ 中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA ， OB于点C ， D ，再分别以C ， D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内部交于点E ，作射线OE ，若 $O E = 8$ ，则C ， D两点之间的距离为（）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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10. 在一次体育课上，小明随机调查了30名同学投篮20次投中的次数，数据如下表所示：
投篮20次投中的次数
6
7
9
12
人数
6
7
10
7
则投篮20次投中的次数的中位数和众数分别是（）

A、8，9 B、10，9 C、7，12 D、9，9

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11. 如图，在四边形OABC中， $∠ A = ∠ C B O = 90 °$ ， $A B = B C = 1$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，则点B到OC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、1 D、2

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12. 几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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13. 为测量一池塘两端A，B间的距离，甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作 $A B$ 的垂线 $B F$ ，再在射线 $B F$ 上取C，D两点，使 $B C = C D$ ，接着过点D作 $B D$ 的垂线 $D E$ ，交 $A C$ 的延长线于点E，则测出 $D E$ 的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线 $A B$ ，过点B作射线 $B E$ ，在射线 $B E$ 上找可直接到达点A的点D，连接 $D A$ ，作 $D C = D A$ ，交直线 $A B$ 于点C，则测出 $B C$ 的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是（）

A、只有甲同学的方案可行 B、只有乙同学的方案可行 C、甲、乙同学的方案均可行 D、甲、乙同学的方案均不可行

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14. 今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程y（km）
与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、小星家离西柏坡景点的路程为50km B、小星从家出发第1小时的平均速度为25km/h C、小星从家出发2小时离景点的路程为125km D、小星从家到西柏坡景点的时间共用了3h

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的动点，且 $B E = D F$ ， $M$ ， $N$ 分别是边 $A D$ ，边 $B C$ 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 $M E N F$ ；
②存在无数个矩形 $M E N F$ ；
③存在无数个菱形 $M E N F$ ；
④存在无数个正方形 $M E N F$ ．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 经过 $A (2 - 3 b ， m) ， B (4 b + c - 1 ， m)$ 两点的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x - b^{2} + 2 c$ （ $x$ 为自变量）与 $x$ 轴有交点，则线段 $A B$ 长为（）

A、10 B、12 C、13 D、15

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二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17小题2分，18-19小题各4分，每空2分，把答案写在题中横线上）

17. 已知关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 4 m + 1 \\ x + y = 2 m - 5 \end{array}$ 的解满足 $x - y = 4$ ，则m的值为；

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18. 记反比例函数 $y = \frac{4 - k}{x}$ 的图象为L ，其上有两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， k为正数．

(1)、当 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ，则k的取值范围是；

(2)、在（1）成立的情况下，若k为整数，过点 $(0, 1)$ 作平行与x轴的直线交L于点M ，则点M的横坐标可为；（写出一个即可）

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19. 如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A ， B ， C ， D ， E ， F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a ，左右两个正六边形边长均为b ．

(1)、 $t a n ∠ A D E =$ ；

(2)、若 $b = 3$ ，则 $a =$ ．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 嘉琪参加寒假实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．

(1)、这台M型平板电脑价值多少元？

(2)、嘉琪若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？

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21. 每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数字．比如我国著名的数学家华罗庚出生于1910年，他的快乐数字是 $1910 - (1 + 9 + 1 + 0) = 1899$ ．

(1)、某人出生于1949年，他的快乐数字是；

(2)、你再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被_▲_整除，请你用所学知识说明你的猜想．

(3)、请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）．

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22. 打造书香文化，培养阅读习惯，我市某中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；

(1)、条形图中的 $m =$ ， $n =$ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；

(2)、若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

(3)、甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

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23. 如图，在直角坐标系中，点 $A (2, m)$ 在直线 $y = 2 x - \frac{5}{2}$ 上，过点A的直线交y轴于点 $B (0, 3)$ ．

(1)、求m的值和直线的函数表达式．

(2)、若点 $P (t, y_{1})$ 在线段AB上，点 $Q (t - 2, y_{2})$ 在直线 $y = 2 x - \frac{5}{2}$ 上，求 $y_{1} - y_{2}$ 的最小值．

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24.

已知I是 $△ A B C$ 的内心，AI的延长线交 $△ A B C$ 的外接圆于点D ，连接DC ， DB ．

(1)、在图1中：①证明： $D C = D B$ ；②判断 $△ I B C$ 外心的位置，并证明；

(2)、如图2，若AB为 $△ A B C$ 的外接圆直径，取AB中点O ，且 $O I ⊥ A D$ 于点I ， DE切圆O于点D ，求 $t a n ∠ A D E$ 的值．

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25. 已知二次函数的图象L过点 $(0, \frac{3}{2})$ ，顶点坐标为 $(- 1, 2)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、L与x轴相交于A ， B两点（点A在点B左侧），求A ， B两点坐标；

(3)、将L向上平移个 $k (k > 0)$ 单位长度，与x轴相交于 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 两点，若点 $K (k, 0)$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，求k的取值范围．

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26. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，过点C作射线 $C D ⊥ B C$ ，点M ， N分别在边AB ， BC上，将 $△ A B C$ 沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点 $B^{'}$ 处，连接 $A B^{'}$ ．

(1)、证明： $C N + N B^{'}$ 为定值；

(2)、当 $B N = 2 N C$ 时，证明四边形 $B M B^{'} N$ 是菱形；

(3)、当点N与C重合时，求 $∠ A B^{'} M$ 的度数；

(4)、当 $A B^{'}$ 最短时，请直接写出MN的长．

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投篮20次投中的次数	6	7	9	12
人数	6	7	10	7