广东省深圳市宝安区10校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）

1. 如图为山西省第八次旅游发展大会的吉祥物“盐精灵”，下列由该图平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、 $x \geq - 3$ B、 $x \geq - 3$ 且 $x \neq 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x > - 3$ 且 $x \neq 1$

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3. 若 $a > b$ ，则下列各式中一定成立的是（）

A、 $a - 2 < b - 2$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $a + 2 > b + 2$

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4. 下列各项变形，是因式分解的是（）

A、a（a﹣2）＝a²﹣2a B、a²+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1） C、y²﹣1＝y（y﹣ $\frac{1}{y}$ ） D、am+bm+c＝m（a+b）+c

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5. 如图，A ， B的坐标分别为 $(2, 0), (0, 4)$ ，若将线段 $A B$ 平移到 $A_{1} B_{1}$ 处， $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标分别为 $(5, a), (b, 6)$ ，则 $a + b =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、2

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6. 命题：已知 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ．求证： $∠ B < 90 °$ ．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（）成立

A、 $A B \neq A C$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $∠ B \geq 90 °$ D、 $A B \neq A C$ 且 $∠ B \geq 90 °$

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7. 关于分式 $\frac{2 m - 6 n}{3 m - 4 n}$ ，下列说法正确的是（）

A、分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍 B、分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍 C、分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变 D、分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变

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8. 如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m ， 3），则不等式2x＞ax+4的解集为（）

A、x＜ $\frac{3}{2}$ B、x＜3 C、x＞ $\frac{3}{2}$ D、x＞3

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9. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45°，AC= $\sqrt{5}$ ， CD=1，则AB的长度为（）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{5}$ D、3 $\sqrt{2}$

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10. 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把 $△$ CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 $D^{'}$ 的坐标是（）

A、（2，10） B、（﹣2，0） C、（2，10）或（﹣2，0） D、（10，2）或（﹣2，0）

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二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）

11. 若分式 $\frac{x - 3}{x + 3}$ 的值为0，则x的值为．

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12. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是．

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13. 如果 $a^{2} + 2 a - 1 = 0$ ，那么代数式 $(a - \frac{4}{a}) \cdot \frac{a^{2}}{a - 2}$ 的值是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 30 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 的中点， $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于 $E$ ；点 $O$ 在 $D E$ 上， $O A = O B$ ， $O D = 1$ ， $O E = 2$ ，则 $B E$ 的长为．

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15. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为6，D是 $B C$ 的中点，E是 $A C$ 边上的一点，连接 $D E$ ，以 $D E$ 为边作等边 $△ D E F$ ，若 $C E = 2$ ，则线段 $A F$ 的长为．

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三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 因式分解：

(1)、 $x_{}^{2} (x - y) + (y - x)$

(2)、 $8 x^{3} y ﹣ 18 x y$

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17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 8 < x \\ \frac{1 - x}{2} \leq \frac{1 + 2 x}{3} - 1 \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来．

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18. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - a}$ ，从1，2，3，4中选取一个适当的数代入求值．

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19. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ 、 $B (4 ， 2)$ 、 $C (3 ， 4)$

(1)、将 $△ A B C$ 向左平移4个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

(2)、以点O为旋转中心，将 $△ A B C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在x轴上找一点P ， $P A + P B$ 最小，此时P的坐标为.

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20. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360

(1)、求甲、乙两种水果的进价；

(2)、销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲水果80千克，乙水果120千克．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．

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21. 项目式学习

如何设计计算油漆用量的方案？
素材1	小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案．他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆．
素材2	奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为 $S = m a + n b - 1$ （其中m ， n为常数）．示例：如图2，格点多边形内的格点数 $a = 4$ ，边界上的格点数 $b = 6$ ，格点多边形的面积 $S = 6$ ．
问题解决
任务1	在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a ，边界上的格点数b和面积S ．	$a =$ ▲ $b =$ ▲ $S =$ ▲
任务2	得出格点多边形的面积公式	根据图2和图3的数据，求常数m ， n的值．
任务3	计算油漆的用量	求需要红色油漆多少升？

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22. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图①等边 $△ A B C$ 内有一点P ，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 $∠ A P B$ 的度数．为了解决本题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点A旋转到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 $P A 、 P B 、 P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B =$ ；

(2)、基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②， $△ A B C 中， ∠ C A B = 90 ° ， A B = A C ， E 、 F$ 为 $B C$ 上的点且 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $E F^{2} = B E^{2} + F C^{2}$ ；

(3)、能力提升
如图③，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 1 ， ∠ A B C = 30 °$ ，点O为 $R t △ A B C$ 内一点，连接 $A O ， B O ， C O$ ，且 $∠ A O C = ∠ C O B = ∠ B O A = 120 °$ ，求 $O A + O B + O C$ 的值．

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