浙江省杭州滨江区2024年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-05-15 类型：中考模拟

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一、选择题．（每题3分）

1. 在 $0, 1, - 2, - 3$ 这四个数中，最小的数是（）

A、0 B、1 C、-2 D、-3

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2. 下列计算正确的是 $()$

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a = a^{3}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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3. 如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD交于点 $O$ ．若（），则 $▱ A B C D$ 是菱形．

A、 $A B = A C$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A B = C D$ D、 $A C = B D$

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5. 如图，在 $△ A B D$ 中， $∠ B A D = 9 0^{°}$ ，将 $△ A B D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转后得到 $△ A C E$ ，此时点 $C$ 恰好落在BD边上．若 $∠ E = 2 4^{°}$ ，则 $∠ B A C =$ （）

A、 $2 4^{°}$ B、 $4 8^{°}$ C、 $6 6^{°}$ D、 $7 2^{°}$

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6. 如图，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k$ 为常数，且 $k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y_{2} = m x (m$ 为常数，且 $m \neq 0)$ 的图象相交于A，B两点，点 $A$ 的横坐标为-1．若 $y_{2} < y_{1} < 0$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < x < 0$ B、 $x < - 1$ C、 $x > 1$ D、 $- 1 < x < 0$ 或 $x > 1$

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7. 如图，点 $C$ 、点 $E$ 分别在线段AD，AB上，线段BC与DE交于点 $F$ ，且满足 $A B = A D$ ．下列添加的条件中不能推得 $△ A B C ≅ △ A D E$ 的是（）

A、 $A C = A E$ B、 $B F = D F$ C、 $B E = C D$ D、 $B C = D E$

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8. 某班有40名学生，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小滨没有参加本次测试，算得39人测试成绩数据的平均数． ${\bar{x}}_{1} = 28$ ，中位数 $m_{1} = 28$ ．后来小滨进行了补测，成绩为29分，得到40人测试成绩数据的平均数 $x_{2}$ ，中位数 $m_{2}$ ，则（）

A、 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2}, m_{1} = m_{2}$ B、 ${\bar{x}}_{1} < {\bar{x}}_{2}, m_{1} < m_{2}$ C、 ${\bar{x}}_{1} < {\bar{x}}_{2}, m_{1} ⩽ m_{2}$ D、 ${\bar{x}}_{1} > {\bar{x}}_{2}, m_{1} = m_{2}$

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9. 二次函数． $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 为常数，且 $a \neq 0)$ 中的 $x$ 与 $y$ 的部分对应值如下表：
$x$
-1
0
1
3
$y$
-1
3
5
3
下列结论：①该函数图象的开口向下；
②该函数图象的顶点坐标为 $(1, 5)$ ；
③当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减少；
④ $x = 3$ 是方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c = 0$ 的一个根．
确的是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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10. 如图，在等腰三角形ABC中． $A B = A C, ∠ A = α (0^{°} < α < 9 0^{°})$ ．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则 $\frac{S_{正方形 D E F G}}{S_{△ A B C}} =$ （）．

A、 $\frac{s i n α}{2}$ B、 $\frac{2 s i n α}{(1 + s i n α)^{2}}$ C、 $\frac{1}{2 s i n α}$ D、 $\frac{2 s i n^{2} α}{(1 + s i n α)^{2}}$

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二、填空题：本大题有6个小题,每小题3分,共18分.

11. 分解因式： $m^{3} - m^{2} =$

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12. 若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则圆锥的侧面积为

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13. 如图， $A D / / B C, ∠ B = 3 2^{°}$ ，以点 $D$ 为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点 $M$ ，交BD于点 $N$ ．再以点 $N$ 为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点 $E$ ，连接DE．则 $∠ A D E =$ 度．

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14. 小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将．（填“增加”“减小”或“不变”）

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15. 如图，AB为半圆直径，AB=2，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线AC对称，连结AD交 $\overset{⌢}{A C}$ 于点 $E$ ，连结CE．设BC=x，AE=y，则y关于x的函数关系式为.

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16. 小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形 $(R t △ D H C ≅ R t △ B F A, R t △ A D E ≅ R t △ C B G)$ 和正方形EFGH拼成如图所示的 $▱ A B C D$ （无重叠也无缝隙），其中， $A D = 4, A B = 5$ ．记Rt $△ A D E, R t △ B F A$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ．则 $S_{1} - S_{2} =$ ，若 $s i n ∠ D A B = \frac{7}{8}$ ，则正方形EFGH的面积=.

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三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 以下是小滨计算 $\sqrt{12} \div \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{3}{4}}$ 的解答过程：
解：原式 $= 2 \sqrt{3} \div \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{3}$
$= \sqrt{6} - 2 \sqrt{3}$ ．
小滨的解答过程是否有错误?如果有错误，写出正确的解答过程．

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18. 随机抽取某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
七年级部分同学跳高测试成绩的频数直方图

(1)、该组数据中，中位数所在组的频数是多少?请写出该组的边界值．

(2)、若该校七年级总共有360名学生，那么跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有多少人?

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19. 一次函数 $y = k x + b (k, b$ 为常数，且 $k \neq 0)$ 图象和反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1$ ， n）和点 $B (- 2, - 2)$ ．

(1)、求 $n$ 的值及一次函数的表达式．

(2)、点 $C$ 为反比例函数图象上一点，点 $C$ 关于 $y$ 轴的对称点再向下平移4个单位得到点 $D$ ，点 $D$ 恰好落在反比例函数图象上，求点 $C$ 的坐标．

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20. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{°}$ ，点 $D$ 为BC边上一点，且满足． $∠ D A B = ∠ C$ ．

(1)、求证： $B A^{2} = B D \cdot B C$ ．

(2)、若 $A B = 3, B C = 4$ ，求 $t a n ∠ D A C$ 的值．

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21. 如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点.

(1)、判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

(2)、若AB=20厘米，求图(3)中阴影部分的面积.(结果保留t)

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22. 已知二次函数. $y = 2 x^{2} + b x + b$ ( $b$ 为常数).

(1)、若该函数图象的顶点为（s，t），求证，求证： $t ⩽ 2$ ．

(2)、若点 $A (m, p), B (n, q)$ 在该二次函数图象上，且满足 ${\begin{array}{l} m - 2 n = - 1 \\ 2 m - n = 3 b - 8 \end{array}$ ，当 $- 1 < b < 1$ 时，比较p，q的大小，并说明理由.

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23. 【综合与实践】
【探究】小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图(1)，△ABC的高CD和 $△ E F G$ 的高GH相等，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ E F G}} = \frac{A B}{E F}$ 同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．

(1)、如图（1）△ABC和 $△ D C B$ 的面积相等，
求证： $A D / / B C$ ．
证明：分别过点 $A$ 、点 $D$ 作 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 底边BC上的高线AE，DF.

(2)、【应用】把图(3)的四边形ABCD改成一个以AB为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由.

(3)、【拓展】用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理.
已知：如图（4），.
求证：.
证明：

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24. 如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆 $O$ ，点 $P$ 为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点 $E$ ，连结BP并延长交CD边于点 $F$ ，连结CP、

(1)、求证：

(2)、当AB=1时，求C的最小值.

(3)、若CP=CF，求BE：BC的值．

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$x$	-1	0	1	3
$y$	-1	3	5	3