四川省成都市金牛区2024年中考数学二模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-14 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1. $- 2024$ 的绝对值是（）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $- \frac{1}{2024}$ D、 $\frac{1}{2024}$

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2. 2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展的主要预期目标是：国内生产总值增长 $5 %$ 左右；城镇新增就业1200万人以上．将数据“1200万”用科学记数法表示为（）

A、 $12 \times 1 0^{3}$ B、 $1.2 \times 1 0^{7}$ C、 $12 \times 1 0^{6}$ D、 $1.2 \times 1 0^{8}$

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{8}$ D、 $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

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4. 第31届世界大学生夏季运动会女子10米气步枪中国一选手的成绩如下表，该选手成绩的中位数是（）
序号
1
2
3
4
5
6
成绩
93
97
97
96
94
96

A、97 B、96 C、97.5 D、96.5

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5. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D C$ 中， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $∠ 2 = 40 °$ ， $C B = C D$ ，则 $∠ 1 =$ （）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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6. 如图，已知点 $A, B, C$ 在 $⊙ O$ 上， $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点．若 $∠ B A C = 30 °$ ， $O A = 3$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长等于（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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7. 某工厂去年的利润（总产值 $-$ 总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了 $20 %$ ，总支出比去年减少了 $10 %$ ，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？
设去年的总产值为 $x$ 万元，总支出为 $y$ 万元，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 200 \\ (1 + 20 %) x - (1 - 10 %) y = 780 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 200 \\ (1 + 20 %) y + (1 - 10 %) x = 780 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 200 \\ (1 + 20 %) x + (1 - 10 %) y = 780 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 200 \\ (1 + 20 %) x + (1 - 10 %) y = 780 \end{array}$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、函数的最大值为 $a - b + c$ C、当 $x = - 3$ 时， $y = 0$ D、 $4 a + 2 b + c < 0$

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二、填空题（每小题4分，共20分）

9. 因式分解： $9 m^{2} + 6 m + 1 =$ ．

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10. 一次函数 $y = (2 a - 3) x + 2$ 的函数值 $y$ 随 $x$ 值的增大而增大，则常数 $a$ 的取值范围是．

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11. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 1 - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 $A 、 B 、 D$ 的面积依次为5、13、30，则正方形 $C$ 的面积为．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B D$ 为对角线，分别以点 $A 、 B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $M 、 N$ ，作直线 $M N$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，若 $A D ⊥ B D$ ， $B D = 12$ ， $B C = 18$ ，则 $D E$ 的长为．

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三、解答题（共48分）

14.

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 2 | - 2 s i n 60 ° + {(- \frac{1}{3})}^{- 3} - {(- 2024)}^{0}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 (x - 1) \leq 3 x - 1 \\ \frac{x - 1}{3} - 1 > \frac{x - 3}{2} . \end{array}$

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15. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了 $A$ 书法， $B$ 绘画， $C$ 舞蹈， $D$ 跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

(1)、本次抽取调查学生共有人，估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为人；

(2)、请将以上两个统计图补充完整；

(3)、甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从 $A, B, C, D$ 四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择不是同一类的概率．

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16. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树 $D E$ 的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端 $D$ 在同一水平线上的点 $A$ 出发，沿斜面坡度为 $i = 2 : \sqrt{3}$ 的斜坡 $A B$ 前进 $10 \sqrt{7}$ 米到达点 $B$ ，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 $C$ ．在点 $C$ 处测得古树 $D E$ 的顶端 $E$ 的俯角为 $37 °$ ，底部 $D$ 的俯角为 $60 °$ ，求古树 $D E$ 的高度（计算结果精确到1米，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60, c o s 37 ° \approx 0.80, t a n 37 ° \approx 0.75, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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17. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C O ⊥ A B$ ，弦 $C D$ 交 $A B$ 于点E ，点F为直径BA延长线上一点，连接FD ，且 $F E = F D$ ．

(1)、求证：FD为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接BD ，若 $B D = \frac{56}{5}$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ，求AF的长．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = 2 x + 2$ 的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{3}{2 x} (x > 0)$ 交于点 $B$ ．
（备用图）

(1)、求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标；

(2)、点 $C$ 是 $x$ 轴正半轴上一点，连接 $B C$ 交反比例函数 $y = \frac{3}{2 x} (x > 0)$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ，若 $B D = 2 C D$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $D E$ ，连接 $E A$ ．点 $F$ 是反比例函数 $y = \frac{3}{2 x} (x > 0)$ 的图象上一点，连接 $F A$ ，若 $∠ A E D + ∠ F A O = 90 °$ ，求点 $F$ 的坐标．

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四、填空题（每小题4分，共20分）

19. 已知 $\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1$ 且 $x \neq y$ ，则 $\frac{x y - x}{y - x} =$ ．

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20. 设 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 2 = 0$ 的两个实数根，且 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 9$ ，则 $m$ 的值．

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21. 如图，已知点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点， $C D ⊥ A B$ 且 $C D = A B = 8$ ，连接 $A D$ ， $B E ⊥ A B$ ，且交 $∠ D A B$ 的平分线 $A E$ 于点 $E$ ， $A E$ 与 $D C$ 相交于点 $F$ ， $E H ⊥ D C$ 于点 $G$ ，交 $A D$ 于点 $H$ ，则 $A H$ 的长为．

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22. 定义： $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，在 $△ P A B$ 、 $△ P B C$ 和 $△ P A C$ 中，如果存在一个三角形与 $△ A B C$ 相似，那么就称 $P$ 为 $△ A B C$ 的自相似点，根据定义求解问题：已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的中线，如果 $△ A B C$ 的重心 $P$ 恰好是该三角形的自相似点，那么 $c o s ∠ P B D$ 的值为．

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23. 在实数范围内，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则方程可写成 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，即 $a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} = 0$ ，容易发现根与系数的关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ；设关于 $x$ 的一元三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 的三个非零实数根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} =$ ；若 $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ ，则 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} =$ ．

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五、解答题（共30分）

24. 小张周末到天府艺术公园参加销售文创产品的社会实践活动，销售 $A$ 产品5个， $B$ 产品5个，销售金额125元；销售 $A$ 产品2个， $B$ 产品5个，销售金额80元．

(1)、求 $A 、 B$ 两种文创产品销售单价分别是多少元？

(2)、若 $A$ 产品进价12元， $B$ 产品进价8元，小张用不超过980元购进两种产品共100件，准备用销售这批产品的利润购买250元课外科普读物，请问小张的目标能实现吗？若能，请给出相应的进货方案，若不能，请说明理由．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $B (2, 0), C (- 2, 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $A (0, - 4)$ ．
（备用图）

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在抛物线上点 $D$ ，使 $△ A B D$ 的面积是3，请求出点 $D$ 的坐标；

(3)、在（2）中 $x$ 轴下方抛物线上点 $D$ ， $y$ 轴上有一点 $E$ ，连接 $B E, D E$ ，若 $t a n ∠ B E D = \frac{1}{2}$ ，请求出点 $E$ 的坐标．

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26.

(1)、【基础巩固】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，连结 $A D$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点，连结 $C E$ ，若 $∠ A B D = ∠ C A E$ ， $C D = C E$ ，求证： $△ A B D ∽ △ C A E$ ．

(2)、【尝试应用】
如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O, E$ 为 $O C$ 上一点，连结 $B E$ ， $∠ B C E = ∠ C D O$ ， $B E = D O$ ，若 $B D = 16, O E = 12$ ，求 $A C$ 的长．

(3)、【拓展提升】
如图3，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O, E$ 为 $B C$ 中点， $F$ 为 $D C$ 上一点，连结 $O E$ 、 $A F$ ， $∠ A E O = ∠ C A F$ ，若 $\frac{D F}{F C} = \frac{3}{2}$ ， $A C = 8$ ，求菱形 $A B C D$ 的边长．

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序号	1	2	3	4	5	6
成绩	93	97	97	96	94	96