湖北省荆州市2024年中考数学一模试题

试卷更新日期：2024-05-14 类型：中考模拟

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一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 在实数 $3.14159$ ， $- \sqrt{3}$ ， $0$ ， $π$ ， $- \frac{1}{3}$ 中，有理数的个数是（）

A、1 B、2 C、3． D、4

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $(- 3 a b^{2})^{2} = 6 a^{2} b^{4} $ B、 $(a^{2})^{3} - (- a^{3})^{2} = 0$ C、 $- 6 a^{3} b \div 3 a b = - 2 a^{2} b$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3. 函数 $y = \frac{x}{\sqrt{x + 2}}$ 中自变量 $x$ 的取值范围在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的是（）

A、① B、② C、③ D、②③

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5. 校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．下表是小亮一次训练时的进球情况：
投篮数（次）
50
100
150
200
…·
进球数（次）
40
81
118
160
…
则下列说法正确的是（）

A、小亮每投10个球，一定有8个球进 B、小亮投球前8个进，第9，10个一定不进 C、小亮比赛中的投球命中率一定为80% D、小亮比赛中投球命中率可能超过80%

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6. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章 $A B C D E$ 上，若直尺的一边 $M N ⊥ D E$ 于点 $O$ ，且经过点 $B$ ，另一边 $P Q$ 经过点E，则 $∠ A B M$ 的度数为（）

A、108° B、120° C、126° D、144°

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7. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + k + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则直线 $y = (k - 2) x + 1$ 不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 在平面直角坐标系中， $A (0 ， \sqrt{3})$ ， $B (1 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，点 $A$ ，点 $B$ 的对应点分别是点 $D$ ，点 $C$ ．若分别连接 $B C$ ， $D A$ 得到四边形 $A B C D$ 为菱形，且 $B C$ 与 $x$ 轴夹角为 $60 °$ ，则点 $D$ 的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 0)$ 或 $(1 ， 2 \sqrt{3})$ C、 $(1 ， 2 \sqrt{3})$ D、 $(1 ， 2 \sqrt{3})$ 或 $(1 ， - 2 \sqrt{3})$

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9. 古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点 $A$ 和点 $B$ 分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地， $B$ 地在 $A$ 地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离（ $\overset{⌢}{A B}$ 的长）为 $800 k m$ ．当太阳光线在 $A$ 地直射时，同一时刻在 $B$ 地测量太阳光线偏离直射方向的角为 $α$ ，实际测得 $α$ 是 $7.2 °$ ．由此估算地球周长用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 1 0^{4} k m$ B、 $2 \times 1 0^{4} k m$ C、 $4 \times 1 0^{3} k m$ D、 $2 \times 1 0^{5} k m$

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10. 如图所示，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $O A = O C$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，则下列结论：① $a b c < 0$ ；② $a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{4} c = 0$ ；③ $a c - b + 1 = 0$ ；④ $x_{1} + x_{2} = 2$ ； $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ ．其中正确的有（）

A、①② B、②③ C、①③④ D、①④

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二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11. 将二次三项式 $x^{2} - 2 x - 3$ 化为 $a {(x + k)}^{2} + h$ 的形式是．

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12. $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则 $A$ ， $B$ 两位选手抽中相邻跑道的概率为．

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13. 已知： $∠ A O B$ ．求作： $∠ A O B$ 的平分线．
作法：（1）以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $O A$ 于点 $M$ ，交 $O B$ 于点 $N$ ；（2）分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A O B$ 的内部相交于点 $P$ ；（3）画射线 $O P$ ，射线 $O P$ 即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断 $△ M O P ≌ △ N O P$ ，其依据是（在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）

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14. 已知 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ 是二元一次方程组 ${\begin{cases} a x + b y = 8 \\ b x - a y = 1 \end{cases}$ 的解，则 $3 a - \frac{1}{2} b$ 的立方根为．

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15. 在 $R t △ A B C$ 中； $∠ C = 90 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ D B E$ ，点 $A$ 的对应点为点 $D$ ，点 $C$ 的对应点为点 $E$ ，点 $E$ 在 $△ A B C$ 内，当 $∠ C B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ ．若 $B C = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $A F$ 的长为．

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{m + 1}) \div \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - m}$ ，其中 $m = (\frac{1}{2})^{- 1} + (- 2024)^{0}$ ．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ，点 $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边的中点，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ 交 $D E$ 的延长线于 $F$ ，连接 $C D$ ．若 $A B ⊥ C D$ ，求证： $D F = A C$ ．

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18. 下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是 $10 m$ ，坡面 $A C$ 的坡角为 $45 °$ ．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 $C D$ 的坡度 $i = 1 : \sqrt{3}$ ，若新坡底 $D$ 处需留 $3 m$ 的人行道，问离原坡底 $A$ 处 $10 m$ 的建筑物是否需要拆除？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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19. 某中学举办七、八年级全体学生的安全知识比赛活动后，从这两个年级分别随机抽取10名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组：A． $x ≤ 85$ ；B． $85 < x ≤ 90$ ；C． $90 < x ≤ 95$ ；D． $95 < x ≤ 100$ ）．现有下列信息：七年级10名学生的比赛成绩是：81，82，86，89，90，95，99，99，99，100；八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：94，91，94．
七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表

八年级抽取的学生比赛成绩扇形统计图
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
92
92.5
$c$
10%

八年级
92
$b$
99
30%

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$ ； $b =$ ； $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生体育技能水平更好？请说明一条理由；

(3)、该校七年级有1800人，八年级有1900人参加了此次比赛，请估计参加此次比赛获得成绩优秀（ $x > 95$ ）的学生人数是多少？

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20. 【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为 $15 V$ 的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 $L$ （灯丝的阻值 $R_{L} = 2 Ω$ ）亮度．已知电流 $I$ 与电阻 $R$ ， $R_{L}$ 之间关系为 $I = \frac{U}{R + R_{L}}$ ，通过实验得出如下数据：

$R / Ω$
…
1
2
3
4
$n$
6
…

$I / A$
…
5
$\frac{15}{4}$
$m$
$\frac{5}{2}$
$\frac{15}{7}$
$\frac{15}{8}$
…

(1)、填写： $m =$ ， $n =$ ；

(2)、【探究观察】根据以上实验，构建出函数 $y = \frac{15}{x + 2}$ $(x ≥ 0)$ ，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数 $y = \frac{15}{x + 2}$ $(x ≥ 0)$ 的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；

(3)、【拓展应用】结合函数图象，直接写出不等式 $\frac{5}{x + 2} ≥ - \frac{5}{4} x + \frac{15}{2}$ 的解集：

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21. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，过 $A B$ 的延长线上的一点 $P$ 作半圆 $O$ 的切线，切点为点 $C$ ，连接 $A C$ ，过弦 $A C$ 上的点 $E$ （不与点 $C$ 重合）作 $E D ⊥ A B$ 于 $D$ ，交直线 $P C$ 于 $F .$

(1)、请判断 $△ C E F$ 形状，并说明理由；

(2)、若 $C P = 12$ ， $A P = 16$ ，求弦 $A C$ 的长．

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22. 今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，B两种跑鞋共 $80$ 双进行销售．已知 $9000$ 元全部购进B种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的 $1.5$ 倍，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多 $150$ 元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双 $550$ 元， $500$ 元．

(1)、求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？

(2)、该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的 $\frac{2}{3}$ ，销售时对B种跑鞋每双降价 $25 %$ 出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？

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23. 如图2，将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，使点 $B$ 落在对角线 $B D$ 上，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别记为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，折痕与边 $A D$ ， $B C$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ．
图1
图2
图3

(1)、如图1，当点 $B^{'}$ 与点 $D$ 重合时，请判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图2，当 $A B = 4$ ， $A D = 8$ ， $B F = 3$ 时，求 $t a n ∠ B^{'} F C$ 的值；

(3)、如图3，当 $A^{'} B^{'} ∥ A C$ 时，试探究 $A B$ 与 $B C$ 之间的数量关系

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24. 如图，已知经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (x ， 0) (x > - 2)$ 的抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} m x + n (m > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C D ∥ x$ 轴交抛物线于点 $D$ ．

（备用图）

(1)、请用含 $m$ 的代数式表示 $n$ 和点 $D$ 的坐标；

(2)、设直线 $E F$ 垂直平分 $O C$ ，垂足为 $E$ ，交该抛物线的对称轴于点 $F$ ，连接 $C F$ ， $D F$ ， $∠ C F D = 90 °$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若在（2）的条件下，若点 $Q$ 是抛物线上在 $y$ 轴右侧的一个动点，其横坐标为 $t$ ，点 $Q$ 到抛物线对称轴和直线 $C D$ 的距离分别是 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，且 $d = d_{1} - d_{2}$ ， ①求 $d$ 关于 $t$ 的函数解析式；②当 $0 < d ≤ 1$ 时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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投篮数（次）	50	100	150	200	…·
进球数（次）	40	81	118	160	…

七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表					八年级抽取的学生比赛成绩扇形统计图
	平均数	中位数	众数	满分率
七年级	92	92.5	$c$	10%
八年级	92	$b$	99	30%

		$R / Ω$	…	1	2	3	4	$n$	6	…
		$I / A$	…	5	$\frac{15}{4}$	$m$	$\frac{5}{2}$	$\frac{15}{7}$	$\frac{15}{8}$	…


图1	图2	图3


	（备用图）