四川省成都市武侯区2024年中考数学二模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-14 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

1. 如图，比点A表示的数大2的数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、2

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2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（）

A、 $120.3 \times 1 0^{4}$ B、 $1.203 \times 1 0^{5}$ C、 $1.203 \times 1 0^{6}$ D、 $1.203 \times 1 0^{7}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ B、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$ C、 $x^{3} + x^{2} = x^{5}$ D、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$

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5. 已知∠A是锐角，且sinA= $\frac{3}{5}$ ，则tanA的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上，连接 $D E$ ，若 $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，则 $S_{△ A D E} : S_{四边形 D B C E}$ 的值为（）

A、 $1 : 2$ B、 $1 : 3$ C、 $1 : 4$ D、 $2 : 3$

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7. 分式方程 $\frac{y - 2}{y - 3} = 2 - \frac{3}{3 - y}$ 的解为（）

A、 $y = 1$ B、 $y = 2$ C、 $y = 3$ D、 $y = 4$

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与y轴负半轴相交于点C ，点D在抛物线上，且直线 $C D ∥ x$ 轴，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、线段CD的长为4 C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分．共20分

9. 因式分解7x²﹣63＝．

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10. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴于点B ，点P是y轴上任意一点，连接 $P A ， P B$ ，则 $△ A B P$ 的面积为．

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11. 某校在期末考核学生的体育成绩时，将早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%．小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是分

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 50 °$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ （旋转角小于180°），连接AC ，若 $∠ C A D_{1} = 100 °$ ，则菱形ABCD旋转的角度是度．

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13. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B < 180 °$ ，分别以点A和B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线 $O P$ ，若 $O A = 2$ ， $∠ A O P = 35 °$ ，则扇形 $A O B$ 的面积为（结果保留 $π$ ）．

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三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14.

(1)、计算： ${(2024 - π)}^{0} + \sqrt{4} - | - 3 | + 2 s i n 45 °$ ；

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 < 0 \\ \frac{x - 1}{4} \leq \frac{x}{3} \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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15. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A ．制作视力表”“B ．猜想、证明与拓广”“C ．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：
项目
选择人数
频率
A ．制作视力表
4
$a$
B ．猜想、证明与拓广
$b$
$c$
C ．池塘里有多少条鱼
20
0.5
请根据以上信息解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、该校共有500名九年级学生，请估计选择“B ．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；

(3)、本次调查中，选择“A ．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．

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16. 东安阁是成都市东安湖公园的地标性建筑，是公园十二景中的第一景，碧瓦朱甍、飞阁流丹，尽显蜀川之美．某数学兴趣小组用无人机测量东安阁 $A B$ 的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面 $218 m$ 的P点，测得东安阁顶端A的俯角为 $22 °$ ；再将无人机沿东安阁的方向水平飞行 $200 m$ 到达点Q ，测得东安阁底端B的俯角为 $45 °$ ，求东安阁 $A B$ 的高度．（结果精确到 $1 m$ ；参考数据： $s i n 22 ° \approx 0.37$ ， $c o s 22 ° \approx 0.93$ ， $t a n 22 ° \approx 0.40$ ）

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17. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，连接 $A C 、 B C$ ，过C作 $C D ⊥ A B$ 于点D ，在 $\overset{⌢}{B C}$ 上取一点E ，连接 $B E$ ，且满足 $B C$ 平分 $∠ A B E$ ，连接 $A E$ ，分别交 $C D ， B C$ 于点F ， G ．

(1)、求证： $A F = C F$ ；

(2)、若 $C G = \sqrt{5}$ ， $B G = 3 \sqrt{5}$ ，求⊙ $O$ 的半径及线段 $D F$ 的长．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象如图所示，直线 $y = x + 1$ 分别交x轴，y轴于A ， B两点．

(1)、求A ， B两点的坐标；

(2)、在该反比例函数的图象上取一点C ，连接 $O C ， A C$ ，其中 $A C$ 交线段 $O B$ 于点D ，若 $△ C O D ∽ △ A B D$ ，且相似比为2，求该反比例函数的表达式；

(3)、在 $△ A B O$ 的内部取一点P ，以P为位似中心画 $△ P M N$ ，使它与 $△ P A B$ 位似，且相似比为5，若M ， N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标．

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四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19. 若 $\sqrt{7}$ 的小数部分为 $a$ ，则代数式 $(a - 1) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1}$ 的值为．

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20. 请写出一个正整数 $k$ 的值，使得关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 5 x + 2 k = 0$ 有实数根，那么 $k$ 的值可以是．（写出一个即可）

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21. 某兴趣小组在探究光沿直线传播时，设计制作了一个由点光源和质地均匀不透光的圆环组成的实验装置，由物理学知识，可知点光源发出的光线将圆环的部分区域照亮，其示意图如图所示．已知 $⊙ O$ 的半径为 $10 c m$ ，点光源P到圆心O的距离为 $20 c m$ ．现假设可以随意在 $⊙ O$ 上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为．

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ， $A D = 12$ ，点E是 $C D$ 边上一点， $C E = 4$ ，分别在 $A D ， B C$ 边上取点M ， N ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $M N$ 翻折，使得点B的对应点 $B^{'}$ 恰好落在射线 $B E$ 上，点A的对应点是 $A^{'}$ ，那么折痕 $M N$ 的长为；连接 $C A^{'}$ ，线段 $C A^{'}$ 的最小值为．

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23. 利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义一种坐标加密方式：将点 $P (a, b)$ 变换得到点 $Q (a - 3 b, b + 3 a)$ ，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点 $M (1, 0)$ 的“加密点”是点 $N (1, 3)$ ．已知点A在x轴的上方，且 $O A = 1$ ，若点A的“加密点”B在直线 $y = x + m$ 上，则m的取值范围是．

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五、解答题（本大题共3个小题，共30分）

24. 2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆客车的租金情况如表所示：
车型
30座
45座
租金（元/辆）
300
400

(1)、求该校参加研学活动的人数；

(2)、该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ 两点，与y轴相交于点C ， M为第四象限的抛物线上一动点．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、连接 $B C$ ， $C M$ 和 $A M$ ，当四边形 $A B C M$ 的面积为9时，求点M的坐标；

(3)、请完成以下探究．
【动手操作】作直线 $O M$ ，交抛物线于另一点N ，过点C作y轴的垂线，分别交直线 $A M$ ，直线 $B N$ 于点D ， E ．
【猜想证明】随着点M的运动，线段 $D E$ 的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由．

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26. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D为 $B C$ 边上一点（点D不与B ， C重合），且满足 $B D = n C D (n > 1)$ ．以D为顶点作 $∠ A D E = ∠ B$ ，射线 $D E$ 交 $A C$ 边于点E ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ D C E$ ；

(2)、过A作 $A G ⊥ D E$ ，交射线 $D E$ 于点G ．
i）试探究 $G E$ 与 $D E$ 之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）；
ii）连接 $C G$ ，当 $C G^{2} = \frac{1}{2} C D \cdot C B$ 时，求 $n$ 的值．

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项目	选择人数	频率
A ．制作视力表	4	$a$
B ．猜想、证明与拓广	$b$	$c$
C ．池塘里有多少条鱼	20	0.5

车型	30座	45座
租金（元/辆）	300	400