重庆市丰都县融智教育集团2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）

1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A、4，5，6 B、1，1， $\sqrt{2}$ C、6，8，11 D、5，12，23

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{12}$ $\div \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{4 \frac{1}{9}}$ $= 2 \frac{1}{3}$ D、 ${(- 2 \sqrt{5})}^{2} = 10$

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3. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D B = D C$ ， $∠ C = 70 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于点E ，则 $∠ B A E$ 等于（）

A、20° B、110° C、70° D、50°

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4. 估计 $\sqrt{3} \times (\sqrt{18} - \sqrt{3})$ 的值应在（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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5. 下列命题中，真命题是（）

A、对角线相等的四边形是矩形 B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D、一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形是正方形

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6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $G$ 是 $A B$ 的中点，若 $O G = 2.5$ ， $B D = 8$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是（）

A、48 B、36 C、24 D、18

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，点E，F分别是 $A O$ ， $A D$ 的中点，连接 $E F$ ，则 $△ A E F$ 的周长为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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8. 勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以 $R t △ A B C (∠ A C B = 90 °)$ 的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作 $S_{1}$ ，左下不重叠部分的面积记作 $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 3$ ，则 $S_{2}$ 的值是（　　）

A、1 B、 $1.5$ C、2 D、 $2.5$

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9. 如图：正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是 $C D$ 、 $C B$ 边上的点，连接 $A E$ ， $D F$ 交于点N ， $∠ A D F$ 的角平分线 $D M$ 交 $A B$ 于M ，过点M作 $M Q ∥ A E$ 分别交 $D F$ 于点H ，交 $B C$ 于点Q ，连接 $D Q$ ，若 $D E = C F$ ， $∠ A M G = a$ ，则用含a的代数式表示 $∠ D Q C$ 为（）

A、 $135 ° - a$ B、 $90 ° - \frac{1}{2} a$ C、 $45 ° + \frac{1}{2} a$ D、 $\frac{2}{3} a$

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10. 对于从左到右依次排列的三个实数a、b、c ，在a与b之间、b与c之间只添加一个四则运算符号“+”、“-”、“×”、“÷”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a、b、c进行“四则操作”，例如：对实数4、5、6的“四则操作”可以是： $4 + 5 \div 6 ＝ \frac{29}{6}$ ，也可以是 $4 - 5 - 6 = - 7$ ；对实数2， $- 1$ ， $- 2$ 的一种“四则操作”可以是 $2 - (- 1) + (- 2) = 1$ ．给出下列说法：
① 对实数1、4、2进行“四则操作”后的结果可能是6；
② 对于实数2、 $- 5$ 、3进行．“四则操作”后，所有的结果中最大的是21；
③ 对实数x、x、2进行“四则操作”后的结果为6，则x的值共有16个；
其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题（本大题4个小题，每小题8分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上）

11. 若式子 $\sqrt{2 x - 4}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 如图所示， $D E$ 为 $△ A B C$ 的中位线，点F在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90^{\circ}$ ，若 $A B = 8 ， B C = 14 ，$ 则 $E F$ 的长为.

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13. 我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长 $3$ 尺），牵着绳索退行，在距木柱底部 $8$ 尺处时绳索用尽，则木柱长为尺．

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14. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ${(\sqrt{- a})}^{2} - | a + b | + \sqrt{{(b + c)}^{2}} =$ ．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $A C = 16$ ， $B D = 12$ ，则 $D E$ 的长为

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $D$ 是 $A C$ 边的中点，连接 $B D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，得到 $△ E B D$ ，连接 $C E$ ，则点 $E$ 到 $B C$ 的距离为．

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17. 如果关于x的不等式组 ${\begin{cases} \frac{3 x - 1}{2} ＜ x + 2 \\ 3 x + 1 \geq x + m \end{cases}$ 至少有两个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{3 y}{y - 1} = 1 - \frac{m}{1 - y}$ 的解
为正整数，则符合条件的所有整数m的和为．

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18. 对于任意一个四位数 $m$ ，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大 $2$ ，则称这个四位数根为“差双数”，记 $F (m)$ 为 $m$ 的各个数位上的数字之和．例如： $m = 1632$ ， $∵ 1 + 6 - (3 + 2) = 2$ ， $∴ 1632$ 是“差双数”， $F (1632) = 1 + 6 + 3 + 2 = 12$ ； $m = 6397$ ， $∵ 6 + 3 - (9 + 7) = - 7 \neq 2$ ， $∴ 6397$ 不是“差双数”．若 $\bar{5 k 41}$ 与 $\bar{3 s t 2}$ 都是“差双数”，且 $F ($ $\bar{5 k 41}$ $) = F ($ $\bar{3 s t 2}$ $)$ ，则“差双数” $\bar{3 s t 2}$ 是；已知M ， N均为“差双数”，其中 $M = 2000 a + 100 b + 10 c + d$ ， $N$ $= 1000 x + 300 b +$ $40 - d (1 \leq a \leq 4$ ， $0 \leq b \leq 3$ ， $0 \leq c \leq 9$ ， $1 \leq d \leq 9$ ， $1 \leq x \leq 9$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $x$ 是整数 $)$ ，已知 $F (M) + F (N) - 2$ 能被 $6$ 整除，且 $\frac{F (N)}{F (M)}$ 为整数，则满足条件的所有的 $M$ 的值之和为．

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三、解答题（本大题共8小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上）

19. 计算：

(1)、 $\sqrt{50} - \sqrt{8} + | \sqrt{2} - 2 | + \sqrt{32}$

(2)、 $(2 \sqrt{3} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) + (3 \sqrt{48} - \sqrt{81}) \div \sqrt{27}$

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E ， F分别在 $A D$ ， $B C$ 的延长线上，且 $A E = C F$ ， $E F$ 与 $B D$ 交于点O ．求证： $O E = O F$ ．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B$ ∥ $D C$ ， $A B = A D$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 延长线于点 $E$ ，连接 $O E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $C E = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A E ⊥ B D$ 于E ．

(1)、尺规作图：过点C作 $C F ⊥ B D$ 于点F ，连接 $A F$ ．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)、求证： $C E = A F$ ．将下面的过程补充完整．
证明：∵ $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，
∴    ▲     ， $∠ A E D = ∠ C F B = 90 °$ ；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴    ▲     ， $A D ∥ B C$ ，
∴    ▲     ．
在 $△ A D E$ 和 $△ C B F$ 中，
${\begin{array}{l} ∠ A E D = ∠ C F B \\ ∠ A D E = ∠ C B F \\ A D = C B \end{array}$ ，
∴ $△ A D E ≌ △ C B F (A A S)$ ，
∴    ▲     ，
又∵ $A E ∥ C F$ ，
∴四边形 $A F C E$ 是    ▲    ；（    ）（填推理的依据）
∴ $C E = A F$ ．

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23. 阅读理解：我们把 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如 $| \begin{array}{l} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} | = 2 \times 5 - 3 \times 4 = - 2$ ，请根据阅读理解解答下列各题：

(1)、 $| \begin{array}{l} \sqrt{2} & \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & \sqrt{2} \end{array} | =$ ；

(2)、计算： $| \begin{array}{l} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} | + | \begin{array}{l} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} | + ⋯ + | \begin{array}{l} 97 & 98 \\ 99 & 100 \end{array} |$ ；

(3)、已知实数a ， b满足行列式 $| \begin{array}{l} a & - 1 \\ - a^{2} + b & a - 1 \end{array} | = 2 \sqrt{3}$ ，则代数式 $(\frac{a - b}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} - \frac{a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}) \div (b - 1)$ 的值．

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24. 小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图， $A ， B ， C ， D ， E$ 为同一平面内的五个景点．已知景点 $E$ 位于景点 $A$ 的东南方向 $400 \sqrt{6}$ 米处，景点 $D$ 位于景点 $A$ 的北偏东 $60 °$ 方向 $1500$ 米处，景点 $C$ 位于景点 $B$ 的北偏东 $30 °$ 方向，若景点 $A ， B$ 与景点 $C$ ， $D$ 都位于东西方向，且景点 $C ， B ， E$ 在同一直线上．

(1)、求景点 $A$ 与景点 $B$ 之间的距离．（结果保留根号）

(2)、小明从景点 $A$ 出发，从 $A$ 到 $D$ 到 $C$ ，小红从景点 $E$ 出发，从 $E$ 到 $B$ 到 $C$ ，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点 $C$ ．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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25. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 边上一点，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为边在 $A B$ 右侧作正方形 $A E F H$ ，连接 $A F$ ，交 $C D$ 于点N ，连接 $E N$ ．过点F作 $F G ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点G ．

(1)、求证： $B E = C G$ ；

(2)、求证： $B E + D N = E N$ ．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ， D为 $B C$ 上任意一点，E为 $A C$ 上任意一点．

(1)、如图1，连接 $D E$ ，若 $∠ C D E = 60 °$ ， $A C = 4 A E$ ，求 $D E$ 的长．

(2)、如图2，若点D为 $B C$ 中点，连接 $A D$ ，点F为 $A D$ 上任意一点，连接 $E F$ 并延长交 $A B$ 于点M ，将线段 $E F$ 绕点E顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $E G$ ，连接 $A G$ ，点N在 $A C$ 上， $∠ A G N = ∠ A E G$ 且 $A M + A F = \sqrt{2} A E$ ，求证： $G N = M F$ ．

(3)、如图3，点D为 $B C$ 中点，连接 $A D$ ，点F为 $A D$ 的中点，连接 $E F$ 、 $B F$ ，将线段 $E F$ 绕点E顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $E G$ ，连接 $A G$ ， H为直线 $A B$ 上一动点，连接 $F H$ ，将 $△ B F H$ 沿 $F H$ 翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得到 $△ B^{'} F H$ ，连接 $B^{'} G$ ，直接写出线段 $B^{'} G$ 的长度的最大值．

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