河北省保定市阜平县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 计算 ${(\sqrt{2})}^{2} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、4

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2. 关于平行四边形的性质，下列说法不正确的是（）

A、对边平行 B、对角相等 C、邻边相等 D、对角线互相平分

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3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）

A、4，5，6 B、5，8，13 C、1，1， $\sqrt{2}$ D、1， $\sqrt{3}$ ， 4

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4. 已知三角形的一边长为 $2 \sqrt{5}$ ，这条边上的高为 $\sqrt{3}$ ，这个三角形的面积为（）

A、15 B、 $2 \sqrt{15}$ C、 $6 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{15}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对应边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $b^{2} = a^{2} + c^{2}$ ，则（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $∠ C = 90 °$ D、无法确定

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6. 下列计算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{6} - \sqrt{6} = 3$ C、 $\sqrt{12} \div \sqrt{2} = 6$ D、 $\sqrt{8} \times \sqrt{5} = 2 \sqrt{10}$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C ， B D$ 交于点O ， $O A = 5$ ， $∠ A O B = 60 °$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、4 B、4.5 C、5 D、6

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8. 已知命题“正方形的四条边均相等”，则下列说法不正确的是（）

A、该命题的题设是正方形 B、该命题是真命题 C、其逆命题的题设是四边形的四条边相等 D、其逆命题是真命题

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9. 如图，公路 $A C ， B C$ 互相垂直，公路 $A B$ 的中点D与点C被湖隔开，若 $A C = 0.9 k m$ ， $B C = 1.2 k m$ ，则D ， C两点间的距离为（）

A、 $0.6 k m$ B、 $0.75 k m$ C、 $1 k m$ D、 $1.5 k m$

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10. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分两个正方形的面积分别为 $1$ 和 $3$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $1$

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11. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O ， E ， F$ 为 $A O ， C O$ 上的点，顺次连接 $B ， F ， D ， E$ 四点，所得四边形 $B F D E$ 恰好是正方形．若 $A B = \sqrt{5}$ ， $B F = \sqrt{2}$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O ， E F$ 过点 $O$ 且分别交 $A D ， B C$ 于点 $E ， F$ ，在 $B D$ 上找点 $M ， N$ （点 $N$ 在点 $M$ 下方），使以点 $E ， F ， M ， N$ 为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（）

A、甲、乙、丙 B、只有甲、乙 C、只有甲、丙 D、只有乙、丙

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二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13. 如图，某小区要在一块 $△ A B C$ 空地上围一个四边形花坛 $B C F E$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点，且 $E F = 8$ 米，则 $B C$ 的长为米．

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14. 若 ${(2 - \sqrt{7})}^{2} = a - b \sqrt{7}$ ，其中 $a ， b$ 均为整数，则 $b - a$ 的值为．

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15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点 $A, B, C, E$ 均在小正方形的顶点上．以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，圆弧交 $C E$ 于点 $D$ ，则 $E D$ 的长为．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C = 20$ ， $A D = 14$ ， $G ， H$ 分别是边 $A B ， C D$ 的中点， $E ， F$ 是对角线 $A C$ 上的两个动点，且 $A E = C F$ ，当四边形 $E G F H$ 中的 $∠ E G F = 90 °$ 时， $A E$ 的长为．

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三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算下列各小题．

(1)、 $\sqrt{\frac{1}{5}} + 2 \sqrt{5} - \frac{10}{\sqrt{5}}$ ；

(2)、 $\sqrt{18} - \sqrt{3} (\sqrt{24} - \sqrt{6})$ ．

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18. 已知 $a = \sqrt{6} + 1$ ， $b = \sqrt{6} - 1$ ．

(1)、求 $a b$ 的值；

(2)、求 $a^{2} - b^{2}$ 的值．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D ， $A C = 20$ ， $A D = 12$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、若 $B D = 9$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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20.

(1)、【发现规律】在下列横线上填空．
式子1： $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；
式子2： $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}$ ；
式子3： $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}$ ；
式子4： $\sqrt{4 + \frac{1}{6}} =$ ；

(2)、【归纳猜想】如果 $n$ 为正整数，根据上述的运算规律表示式子 $n$ 为；

(3)、【验证猜想】请你验证上述的式子 $n$ ．

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21. 如图，已知矩形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O ， E ， F$ 分别为线段 $O A ， O D$ 的中点．

(1)、若 $A O = 16$ ， $A D = 12$ ，求 $△ O E F$ 的周长；

(2)、若 $G$ 为边 $A B$ 的中点，求证：四边形 $O F E G$ 是平行四边形．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，且 $A O = O C$ ， $O B = O D$ ．

(1)、直接写出 $A B$ 与 $C D$ 的数量关系和位置关系；

(2)、当 $C D = A D$ 时，四边形 $A B C D$ 是什么特殊四边形？并说明理由；

(3)、在（2）的基础上，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $O E$ ，若 $A D = 10$ ， $E C = 4$ ，求 $O E$ 的长．

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23. 如图是某药厂的平面图，经测量 $A B = A D = C D = 100 m$ ， $B C = 100 \sqrt{3} m$ ， $∠ A D C = 90 °$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、已知 $A B$ 是药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点B处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为 $80 m$ ，求直线 $A D$ 上被摄像头监控的公路长度．

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24. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点E ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ ，交 $A D$ 于点F ．

(1)、若 $A B = 3$ ， $A D = 6$ ，求 $B E, E C$ 的长；

(2)、求证：四边形 $A E C F$ 为平行四边形；

(3)、若 $A B = 1$ ， $A D > A B$ ， $∠ B = 60 °$ ，动点P ， Q分别从B ， C两点同时出发，沿 $△ B A E$ 和 $△ D F C$ 各边运动，点P沿 $B \to A \to E \to B$ 运动，点Q沿 $C \to D \to F \to C$ 运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形 $B P D Q$ 是平行四边形．

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