浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、选择题：（本大题共10小题，共30分）

1. 下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 样本数据2、 $a$ 、3、4的平均数是3，则 $a$ 的值是 $($ 　　 $)$

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 下列各式中，是二次根式有（　　）
① $\sqrt{7}$ ；② $\sqrt{- 3}$ ；③ $\sqrt[3]{10}$ ；④ $\sqrt{3 - x}$ （x≤3）；⑤ $\sqrt{a - 3^{2}}$ ；⑥ $\sqrt{- x^{2} - 1}$ ； ⑦ $\sqrt{a b}$ （ab≥0）．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4. 一个多边形的内角和是它的外角和的 $3$ 倍，则这个多边形的边数是（　　）

A、 $10$ B、 $8$ C、 $6$ D、 $5$

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5. 下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 配方后可变形为（　　）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 0$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 0$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 2$

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7. 若 $a$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 根，则 $3 a^{2} + 3 a + 2024$ 的值为（）

A、2021 B、2024 C、2027 D、2030

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8. 用反证法证明“ $△ A B C$ 中，若 $∠ A > ∠ B > ∠ C$ ，则 $∠ A > 6 0^{∘}$ ”，第一步应假设（）

A、 $∠ A = 6 0^{∘}$ B、 $∠ A < 6 0^{∘}$ C、 $∠ A \neq 6 0^{∘}$ D、 $∠ A \leq 6 0^{∘}$

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9. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了 $31.2$ 万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（）

A、 $20 (1 + 2 x) = 31.2$ B、 $20 (1 + 2 x) - 20 = 31.2$ C、 $20 {(1 + x)}^{2} = 31.2$ D、 $20 {(1 + x)}^{2} - 20 = 31.2$

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10. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线AC，BD交于点O，AE平分 $∠ B A D$ ，交BC于点E，且 $∠ A D C = 60^{°} ， A B = \frac{1}{2} B C$ ，连接OE，下列结论① $∠ C A D = 30^{°}$ ；②OD=AB；③ $S_{▱ A B C D} = A C \cdot C D$ ；④ $S_{O E C D} = \frac{3}{2} S_{Δ A O D}$ ；其中成立的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 当 $a = - 2$ 时，二次根式 $\sqrt{3 + a}$ 的值是.

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12. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按2∶3∶5的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是85分、90分和96分，那么他本学期数学学期综合成绩是分．

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13. 关于x的方程 $a x^{2} - 2 (a - 1) x + a = 0$ 有实数根，则a的取值范围．

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14. 若最简二次根式 $\sqrt{2 a - 1}$ 与 $\sqrt{5}$ 是同类二次根式，则a的值是．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ， $∠ D A B = 50 °$ ， $∠ C B A = 70 °$ ， P、M、N分别是 $A B 、 A C 、 B D$ 的中点，若 $B C = 6$ ，则 $△ P M N$ 的周长是．

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16. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (4 ， 0)$ ，点 $B (- 3 ， 2)$ ，点 $C (0 ， 2)$ ，点 $Р$ 从点 $B$ 出发，以 $2$ 个单位每秒的速度沿射线 $B C$ 运动，点 $Q$ 从点 $A$ 出发，开始以 $1$ 个单位每秒的速度向原点 $О$ 运动，到达原点后立刻以原来 $3$ 倍的速度沿射线 $O A$ 运动，若 $P ， Q$ 两点同时出发，设运动时间为 $t$ 秒，则当 $t =$ 时，以点 $A ， Q ， C ， P$ 为顶点的四边形为平行四边形．

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三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{16}) \div \sqrt{2} - 2 \sqrt{\frac{1}{8}}$

(2)、 ${(\sqrt{3} + \sqrt{5})}^{2} + (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)$

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18. 解方程：

(1)、 $2 x - 6 = {(x - 3)}^{2}$

(2)、 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1 ， 4) ， B (4 ， 2) ， C (3 ， 5)$

(1)、请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于原点成中心对称，并写出点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 的坐标．

(2)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积？

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是直线 $B D$ 上的两点， $D E = B F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $A D ⊥ B D$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，且 $E F - A F = 2$ ，求 $D E$ 长．

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21. 有一家加工厂，要对一款进口巧克力进行包装，要求每袋净含量为100g．现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的巧克力，从中各抽出10袋，测得实际质量（g）如下：
甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99
乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102

(1)、分别计算两组数据的众数、中位数；

(2)、通过计算发现这两种包装机抽出的这10袋的平均重量都是100g，要想每包巧克力质量更加稳定，如果你是老板，你会选择哪种包装机比较适合？简述理由．

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22. 关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 2 m x + m + 1 = 0$

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根．

(2)、m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？

(3)、若△ABC的两边AB ， AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．

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23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ (a - 2)^{2} = 3 ， a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ．
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{4} - 4 a^{3} - 4 a + 3$ 的值．

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24. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为 $(14, 0)$ ，点B的坐标为 $(18, 4 \sqrt{3})$ ．

(1)、求点C的坐标和平行四边形 $O A B C$ 的对称中心的点的坐标；

(2)、动点P从点O出发，沿 $O A$ 方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿 $A B$ 方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时， $△ P Q C$ 的面积是平行四边形 $O A B C$ 的一半？

(3)、当 $△ P Q C$ 的面积是平行四边形 $O A B C$ 面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M ，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

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