浙江省湖州市长兴县2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列各式是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{m}$ C、 $\sqrt{- 16}$ D、 $\sqrt[3]{27}$

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x + 3 y - 5 = 0$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$ C、 $x^{2} - 1 = 0$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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3. 下列计算中，正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 1$ B、 $(- \sqrt{2})^{2} = 2$ C、 $\sqrt{{(- 11)}^{2}} = \pm 11$ D、 $\sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{3^{2}} - \sqrt{2^{2}} = 3 - 2 = 1$

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4. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + x - k = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k > - \frac{1}{4}$ B、 $k \geq - \frac{1}{4}$ C、 $k < - \frac{1}{4}$ D、 $k \leq - \frac{1}{4}$

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5. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 5 = 0 (a \neq 0)$ 的一个解是 $x = 1$ ，则 $2021 - a - b$ 的值是（）

A、2016 B、2020 C、2025 D、2026

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6. 某公司今年1月的营业额为2500万元，按计划第一季度的总营业额要达到9100万元，求该公司2月和3月两个月的月平均增长率．设该公司2月和3月两个月营业额的月平均增长率为x ，则可列方程（）

A、 $2500 {(1 + x)}^{2} = 9100$ B、 $2500 (1 + x) (1 + 2 x) = 9100$ C、 $2500 + 2500 (1 + x) + 2500 (1 + 2 x) = 9100$ D、 $2500 + 2500 (1 + x) + 2500 {(1 + x)}^{2} = 9100$

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7. 某工厂生产质量分别为1g，5g，10g，25g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20g，若再放入一个25g的球，此时箱子里球的平均质量变为21g，则x的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，D ， E分别为AB ， AC的中点，F是DE上一点，连结AF和CF ， $∠ A F C = 90 °$ ，若 $D F = 1$ ， $A C = 6$ ，则BC的长度为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 欧几里得的《原本》记载了形如 $x^{2} + a x = b^{2}$ 的方程的图解法：画 $R t △ A B C$ ，使 $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = \frac{a}{2}$ ， $A C = b$ ，再在斜边AB上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，则该方程的一个正根是（）

A、AC的长 B、AD的长 C、BC的长 D、CD的长

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10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， AE平分 $∠ B A D$ ，分别交BC、BD于点E、P ，连接OE ， $∠ A D C = 60 °$ ， $A B = \frac{1}{2} B C = 1$ ，则下列结论：① $∠ C A D = 30 °$ ；② $B D = \sqrt{7}$ ；③ $S_{平行四边形 A B C D} = A B \cdot A C$ ；④ $O E = \frac{1}{4} A D$ 其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 当 $x = 1$ 时，二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 的值为．

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12. 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为边形．

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13. 甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，若方差 $S_{甲}^{2} < S_{乙}^{2}$ ，则队员身高比较整齐的球队是队(填“甲”或“乙”).

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14. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设．

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15. 在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式 $x^{2} - 3 x + c$ 与代数式 $x - 2$ 值相等，则c的取值范围是．

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16. 平面直角坐标系中，已知点 $A (4, 0)$ ，点 $B (0, 1)$ ，点 $C (1, 3)$ ，点 $D (x, y) (y \geq 0)$ ，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为．

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三、解答题（本大题有8小题，共66分）

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{18} - \sqrt{3}) \times \sqrt{12}$ ；

(2)、 ${(2 \sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} - x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 7 x + 2 = 0$ ．

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19. 已知 $a = \sqrt{2} + 1$ ， $b = \sqrt{2} - 1$ ，求下列式子的值：

(1)、 $a^{2} - b^{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ．

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20. 某校为了解八年级男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本校部分引体向上项目的的成绩，并将测试得到的成绩绘制成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：

(1)、求扇形统计图中a的值，并补全条形统计图；

(2)、在这次抽测中，测试成绩的众数是个，中位数是个；

(3)、该校中八年级男生约有400名，如引体向上达6个以上含6个为优秀，请你估计八年级男生引体向上达到优秀的人数．

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21. 如图，在 $▱$ ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．

(1)、求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)、连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．

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22. 近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区。为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加100x元（x为整数）．

(1)、直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．

(2)、当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．

(3)、求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？

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23. 对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形。

(1)、判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是命题．（真或假）

(2)、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线上一点， $B E = D F$ ，连接EF ，取EF的中点G ，连接CG并延长交AD于H ，连结CF ，探究：四边形BCGE是否是奇特四边形，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由。

(3)、在（2）的条件下，若四边形BCGE的面积为16，求AF的长．

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24. 在 $△ A B C$ 中、 $∠ B = ∠ C = α (0 ° < α < 45 °)$ ， $A M ⊥ B C$ 于点M ， D是线段MC上的动点（不与点M ， C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE ．

(1)、如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 5$ cm， $B C = 8$ cm，求CE的长；

(3)、如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B ， M重合）满足 $D F = D C$ ，连接AE ， EF ，直接写出 $∠ A E F$ 的大小，并证明．

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