湖北省恩施市2024年中考数学一模试题

试卷更新日期：2024-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 小明身高 $1.78 m$ ，则他身高的相反数是（　　）

A、 $1.78$ B、 $- 1.78$ C、 $| 1.78 |$ D、 $\pm 1.78$

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2. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在演变过程中演变出多种文字，给人以美的享受．下面是“恩施很美”四个字的篆书，其中能看做是轴对称图形的是（）

A、 B、
C、
D、

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3. 在数轴上表示不等式 $x - 1 < 2$ 的解集，正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = 2 a^{4}$ B、 ${(a b^{3})}^{2} = a b^{6}$ C、 $a^{5} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 2 x + 4$

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5. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA ，垂足为O ，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C ，则C点表示的数为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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6. 如图，将边长为 $8 c m$ 的正方形纸片 $A B C D$ 折叠，使点D落在 $B C$ 边的中点E处，折痕为 $M N$ ，则线段 $C N$ 的长是（）

A、 $3 c m$ B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $6 c m$

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7. 如图，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 105 °$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ， $O D$ ， $B D$ ， $∠ B O C = 2 ∠ C O D$ ．则 $∠ C B D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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8. 武汉作为新晋网红城市，五一期间吸引着大量游客前来观光打卡．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程 $s (k m)$ 随时间 $t (h)$ 变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（）

A、甲大巴停留前的平均速度是 $60 k m / h$ B、甲大巴中途停留了0.5h C、甲大巴比乙大巴先0.25h到达景点 D、甲大巴停留后用0.5h追上乙大巴

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9. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，在 $A B$ ， $C B$ 上分别取点M ， N ，且 $A M = B N = 8$ ， $D N = 4$ ，在 $A D$ 上有一动点 $P$ ，则 $P M + P N$ 的最小值为（　　）

A、12 B、14 C、16 D、18

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10. 已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ 在直线 $y = - x - 6$ 上，点 $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ 在抛物线 $y = - x^{2} - 4 x - 2$ 上，若 $y_{1} = y_{2} = y_{3}$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是（　　）

A、 $- 8 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < - 4$ B、 $- 10 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < - 6$ C、 $- 4 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < 0$ D、 $- 12 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < - 8$

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二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11. 因式分解： $11 x^{2} - 11 =$

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12. 为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是．

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13. 鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度 $x ℃$ 的范围是 $19 \leq x \leq 25$ ， B种鱼的生长温度 $x ℃$ 的范围是 $20 \leq x \leq 26$ ，写出一个你认为适宜两种鱼生长的温度：℃

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14. 如图所示，有一天桥高 $A B$ 为5米， $B C$ 是通向天桥的斜坡， $∠ A C B = 45 °$ ，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使 $∠ D = 30 °$ ，则 $C D$ 的长度约为（保留一位小数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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15. 在反比例函 $y = \frac{12}{x}$ 的图象上有 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, ⋯ P_{2025}$ 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots S_{2024}$ 则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots + S_{2024} =$ ．

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三、解答题（共9小题，满分75分）

16. 计算： ${(- \frac{1}{3})}^{0} + 3 t a n 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{4} + | - \sqrt{3} |$ ．

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点O ，过点O作直线 $m ∥ A D$ ，交 $A B, C D$ 于点E、F ．

(1)、请用无刻度直尺及圆规过点O作m的垂线，分别交 $A D 、 B C$ 于点G、H ，保留作图痕迹．

(2)、顺次连接E、G、F、H ，判断四边形 $E G F H$ 的形状，并说明理由．

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18. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式 $M$ ，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值： $\frac{M}{a - 1} - \frac{1}{a^{2} - a}$ ，其中 $a = 10$ ．
解：原式 $= \frac{a^{2}}{a (a - 1)} - \frac{1}{a (a - 1)}$
……
单项式 $M =$ ▲
完整的解法过程如下：

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19. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)、请将条形统计图补充完整；

(2)、在扇形统计图中， $D$ 所在的扇形的圆心角的度数为；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去 $A$ 基地的大约有人；

(3)、甲、乙两所学校计划从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．

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20. 如图，已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 图像交于 $A (n, 1)$ ， $B (4, - 2)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、P为y轴上一点， $S_{Δ A B P} = 18$ ，求点P的坐标．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点O在边 $A C$ 上，且 $∠ C B O = ∠ C A B$ ，过点A作 $A D ⊥ B O$ 交 $B O$ 的延长线于点D ，以点O为圆心， $O D$ 的长为半径作 $⊙ O$ 交 $B O$ 于点E ．

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $B E = 8$ ，求线段 $A B$ 的长．

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22. 已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量 $y_{1}$ （单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为 $y_{1} = - 2 x + 100$ ，乙种玩具每天的销量 $y_{2}$ （单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z（单位：元）
…
20
25
30
…
销量 $y_{2}$ （单位：件）
…
100
80
60
…
其中x ， z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．

(1)、直接写出乙种玩具每天的销量 $y_{2}$ 与每件售价z的关系式是；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是；

(2)、当甲种玩具总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？

(3)、当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格．

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23.

(1)、【问题探究】
如图1， $A B ⊥ B C$ 于点B ， $C E ⊥ B C$ 于点C ， $A C ⊥ D E$ 交 $B C$ 于点D ，求证： $\frac{A C}{D E} = \frac{B C}{C E}$

(2)、【知识迁移】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 上的一点，作 $D F ⊥ A E$ 交 $B C$ 于点F ， $C E = E F$ ，若 $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，求 $\frac{A E}{D F}$ 的值．

(3)、【拓展应用】
如图3，菱形 $A B C D$ 的边长为5， $t a n ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ， E为 $A D$ 上的一点，过D作 $D G ⊥ C E$ E交 $A C$ 于点F ，交 $A B$ 于点G ，且 $C E = 2 D F$ ，求 $D E$ 的长．

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24. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点坐标为 $A (1, 2)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (- 1, 0)$ ， $C$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线上的动点．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、连接 $A B$ 、 $A C$ ，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

(3)、连接 $C D$ ，若点P在第一象限，过点P作 $P E ⊥ C D$ 于E ，求线段 $P E$ 长度的最大值；

(4)、已知 $∠ A C B + ∠ P C B = α$ ，是否存在点P ，使得 $t a n α = 2$ ？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

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每件售价z（单位：元）	…	20	25	30	…
销量 $y_{2}$ （单位：件）	…	100	80	60	…