浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年七年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列方程是二元一次方程的是（）

A、 $x + y = 2$ B、 $x + 2 y$ C、 $\frac{1}{x} + y = 0$ D、 $x^{2} + 2 y = 1$

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2. 下列运算中，正确的是（）

A、 $3 a^{2} - a^{2} = 2$ B、 ${(2 a^{2})}^{2} = 2 a^{4}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$

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3. 某种细胞的直径是 $0.00000024$ 米，用科学记数法表示 $0.00000024$ 为（）

A、 $2.4 \times 1 0^{- 7}$ B、 $2.4 \times 1 0^{- 8}$ C、 $0.24 \times 1 0^{- 7}$ D、 $24 \times 1 0^{- 8}$

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4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（）

A、 $a (x + y) = a x + a y$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ C、 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$

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5. 下列各组数是方程 $x + 2 y = 4$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 1 \end{array}$

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6. 如图，∠1＝80°，∠2＝80°，∠3＝84°，则∠4＝（　）

A、84° B、94° C、86° D、96°

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7. 如图，点E在 $A C$ 的延长线上，下列条件能判断 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ D = ∠ D C E$ B、 $∠ 3 = ∠ 4$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、 $∠ D + ∠ A C D = 180 °$

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8. 金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买 $4$ 棵松树苗和 $3$ 棵梭梭树苗需要 $180$ 元，购买 $1$ 棵梭梭树苗比 $1$ 棵松树苗少花费 $10$ 元，设每棵松树苗 $x$ 元，每棵梭梭树苗 $y$ 元，则列出的方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 180 \\ y - x = 10 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 180 \\ y - x = 10 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 180 \\ x - y = 10 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 180 \\ x - y = 10 \end{array}$

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9. 我们知道：若 $a^{m}$ = $a^{n}$ (a>0且a≠1)，则m=n.设 $5^{m}$ =3， $5^{n}$ =15， $5^{p}$ =75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n；②m+n=2p- $1 ， ③ n^{2} - m p = 1 .$ 其中正确的是（　）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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10. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 6 - 3 a \\ x - y = 6 a \end{array}$ ，给出下列说法：
①当 $a = 1$ 时，方程组的解也是 $x + y = a + 3$ 的解；
②若 $2 x + y = 3$ ，则 $a = - 1$ ；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每小题3分，共30分）

11. 在 $2 x + y = 7$ 中，用含 $y$ 的代数式表示 $x$ ，则．

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12. 分解因式： $x^{2} y - y^{3}$ =.

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13. 若a+b=1 ， ab=﹣3，则（a+1）（b+1）的值为.

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14. 若关于x，y的二次三项式9x²+mxy+4y²是一个完全平方式，则m＝.

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15. 若 ${\begin{array}{l} x = m \\ y = n \end{array}$ 是方程 $x - 3 y = - 5$ 的一组解，则 $2 m - 6 n + 2024 =$ ．

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16. 已知： $| 2 x + y - 3 | + {(x - 3 y - 5)}^{2} = 0$ ，则 $y^{x}$ 的值为．

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17. 若n满足 ${(n - 2023)}^{2} + {(2024 - n)}^{2} = 1$ ，则 $(2024 - n) (n - 2023)$ 等于．

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18. 将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 按图中那样折叠后，点A ， B分别落在点G ， H处，若 $∠ 2 = 3 ∠ 1$ ，则 $∠ 2$ 的度数是．

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19. 如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝102 m，宽AD＝51 m，从A，B两处入口的中路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为m².

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20. 如图，有两个正方形A ，B ，现将B放在A的内部如图甲，将A ， B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 $\frac{3}{10}$ 和 $\frac{21}{5}$ ，则正方形A与B的面积之和为．
，

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三、解答题（共40分）

21.

(1)、计算： $- 1^{2023} + (- \frac{1}{2})^{- 2} + (3.14 - π)^{0}$

(2)、解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{array}$ ．

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22. 如图，在三角形 $A B C$ 中，点D在 $A B$ 上， $D E ∥ A C$ 交 $B C$ 于点E ，点F在 $A C$ ， $∠ A F D = ∠ B E D$ ．

(1)、试说明： $D F ∥ B C$ ；

(2)、若 $∠ A + ∠ B = 120 °$ ，求 $∠ F D E$ 的度数．

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23.

(1)、已知 $x^{2} y = 2$ ， $x - 2 y = 5$ ，求 $x^{3} y - 2 x^{2} y^{2}$ 的值．

(2)、化简求值： $(a^{2} b^{3} + 2 a^{3} b) \div (2 a b) - (a + 2 b) (a - 2 b)$ ，其中 $a = 1$ ， $b = \frac{1}{2}$ ．

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24. 我们规定：对于数对 $(a, b)$ ，如果满足 $a + b = a b$ ，那么就称数对 $(a, b)$ 是“和积等数对”：如果满足 $a - b = a b$ ，那么就称数对 $(a, b)$ 是“差积等数对”，例如 $\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \times 3$ ， $2 - \frac{2}{3} = 2 \times \frac{2}{3}$ ．
所以数对 $(\frac{3}{2}, 3)$ 为“和积等数对”，数对 $(2, \frac{2}{3})$ 为“差积等数对”．

(1)、下列数对中，“和积等数对”的是；“差积等数对”的是(填序号)．
① $(- \frac{2}{3}, - 2)$ ， ② $(\frac{2}{3}, - 2)$ ， ③ $(- \frac{2}{3}, 2)$ ．

(2)、若数对 $(\frac{x - 1}{2}, - 2)$ 是“差积等数对”，求 $x$ 的值．

(3)、是否存在非零有理数 $m$ ， $n$ ，使数对 $(2 m, n)$ 是“和积等数对”，同时数对 $(2 n, m)$ 也是“差积等数对”，若存在，求出 $m$ ， $n$ 的值，若不存在，说明理由．

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25. 某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：

牛奶（箱
咖啡（箱
金额（元
方案一
20
10
1100
方案二
30
15
____

(1)、采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是元；

(2)、若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的 $\frac{1}{4}$ ，则此次按原价采购的咖啡有箱．

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26. 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是 ${(a + b)}^{2}$ ；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，由此得到 ${(a ＋ b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．

(1)、如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 $(a + b + c)$ 的正方形，
从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为；

(2)、利用（1）中的结论解决以下问题：
①已知 $a + b + c = 10$ ， $a b + a c + b c = 38$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；
②如图3，由正方形 $A B C D$ 边长为a ，正方形 $C E F G$ 边长为b ，点 $D, G, C$ 在同一直线上，连接 $B D ， D F$ ，
若 $a - b = 2 ， a b = 3$ ，求图3中阴影部分的面积．

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	牛奶（箱	咖啡（箱	金额（元
方案一	20	10	1100
方案二	30	15	____