（通用版）2024年中考数学重点知识冲刺训练---方程

试卷更新日期：2024-05-14 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} · x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} · x_{2} = 7$

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2. 关于 $x$ 的一元一次方程 $2 x + m = 5$ 的解为 $x = 1$ ，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、7 D、-7

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3. 元朝朱世杰所著的 $《$ 算学启蒙 $》$ 中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 $240$ 里，慢马每天行 $150$ 里，慢马先行 $12$ 天，快马几天可追上慢马？若设快马 $x$ 天可追上慢马，由题意得（）

A、 $\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$ B、 $\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$ C、 $240 (x - 12) = 150 x$ D、 $240 x = 150 (x + 12)$

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4. 对于二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = x - 1 ① \\ x + 2 y = 7 ② \end{array}$ ，将①式代入②式，消去 $y$ 可以得到（）

A、 $x + 2 x - 1 = 7$ B、 $x + 2 x - 2 = 7$ C、 $x + x - 1 = 7$ D、 $x + 2 x + 2 = 7$

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5. 已知3是关于 $x$ 的方程 $2 x - a = 1$ 的解，则 $a$ 的值为（）

A、-5 B、5 C、7 D、-7

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6. 关于一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 根的情况，下列说法中正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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7. 下列说法中，正确的是（）

A、若 $a c = b c$ ，则 $a = b$ B、若 $a^{2} = b^{2}$ ，则 $a = b$ C、若 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ ，则 $a = b$ D、若 $- \frac{1}{3} x = 6$ ，则 $x = 2$

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8. 在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I= $\frac{U}{R}$ ，去分母得IR=U，那么其变形的依据是（）

A、等式的性质1 B、等式的性质2 C、分式的基本性质 D、不等式的性质2

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9. 分式方程 $\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{2}{x - 3}$ 的解为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 若方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 5 y = 6 ， \\ 6 x + 15 y = 15 \end{array}$ 的解也是方程 $3 x + k y = 10$ 的解，则 $k$ 的值是（）

A、6 B、10 C、9 D、 $\frac{35}{3}$

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二、填空题

11. 若关于x的方程 $x^{2} + a x - 2 = 0$ 有一个根是1，则 $a =$ .

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12. 已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．

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13. 分式方程 $\frac{x + 1}{x} = \frac{2}{3}$ 的解为 $x =$ ．

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14. 在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛.活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m=.
16
7
4

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $\frac{a - b}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})$ ，其中a，b满足 $| a - 3 | + {(b - 2)}^{2}$ =0．

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16. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取任何实数，方程总有实数根；

(2)、若一元二次方程的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 19$ ，求 $m$ 的值．

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18. 有 $A 、 B$ 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾， $A$ 发电厂比 $B$ 发电厂多发40度电， $A$ 焚烧20吨垃圾比 $B$ 焚烧30吨垃圾少1800度电.

(1)、求焚烧1吨垃圾， $A$ 和 $B$ 各发多少度电？

(2)、 $A 、 B$ 两个发电厂共焚烧90吨垃圾， $A$ 焚烧的垃圾不多于 $B$ 焚烧的垃圾的两倍，求 $A$ 厂和 $B$ 厂总发电量的最大值.

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19. 在欧几里得的《几何原本》中，形如 $x^{2} + a x = b^{2}$ 的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB=90°，BC= $\frac{a}{2}$ ， AC=b，再在斜边AB上截取 $B D = \frac{a}{2} ，$ 连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.

(1)、用含a，b的代数式表示AD的长.

(2)、图中哪条线段的长是一元二次方程 $x^{2} + a x = b^{2}$ 的一个正根?请说明理由.

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20. 在欧几里得的《几何原本》中，形如 $x^{2} + a x = b^{2}$ 的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt $△ A C B$ ，使 $∠ A C B = 9 0^{°} ， B C = \frac{a}{2}$ ， $A C = b$ ，再在斜边AB上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.

(1)、用含a，b的代数式表示AD的长.

(2)、图中哪条线段的长是一元二次方程x²+ax=b²的一个正根？请说明理由.

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四、综合题

21. 老师在黑板上写出如图所示的算式

(1)、嘉嘉在“□”中填入﹣6，请帮他计算“◇”中填入的数字；

(2)、淇淇说，“□”和“◇”填入的一定是两个不同的数，淇淇的说法对吗？请说明理由．
$7 \times □ - 5 \times ◇ = 38$

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22. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 $A$ 型和 $B$ 型两种玩具，已知用520元购进 $A$ 型玩具的数量比用175元购进 $B$ 型玩具的数量多30个，且 $A$ 型玩具单价是 $B$ 型玩具单价的 $1.6$ 倍．

(1)、求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：

甲： $\frac{520}{1.6 x} = \frac{175}{x} + 30$ ，解得 $x = 5$ ，经检验 $x = 5$ 是原方程的解．

乙： $\frac{520}{x} = 1.6 \times \frac{175}{x - 30}$ ，解得 $x = 65$ ，经检验 $x = 65$ 是原方程的解．

则甲所列方程中的 $x$ 表示，乙所列方程中的 $x$ 表示；

(2)、该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进 $A$ 型玩具多少个？

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23. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根（ $O B > O C$ ）．请解答下列问题：

(1)、求点B的坐标；

(2)、若 $O D ： O C = 2 ： 1$ ，直线 $y = - x + b$ 分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求 $t a n ∠ M N D$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使 $△ N P Q$ 是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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