湖南省长沙市宁乡市西部乡镇2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列根式中属于最简二次根式的是( )

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{a^{2} + 1}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$

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2. 如果 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x \geq 1$ C、 $x \leq 1$ D、 $x < 1$

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3. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是(　　)

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{27}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 正方形具备而菱形不具备的性质是（）

A、对角线互相平分 B、对角线互相垂直 C、对角线相等 D、每条对角线平分一组对角

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5. 边长分别是下列各组数的三角形中，是直角三角形的是( )

A、 $5$ ， $10$ ， $13$ B、 $5$ ， $7$ ， $8$ C、 $8$ ， $25$ ， $27$ D、 $7$ ， $24$ ， $25$

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6. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）

A、13 B、13或 $\sqrt{119}$ C、13或15 D、15

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7. 下列说法中正确的个数有( )
$①$ 三角形的三条高一定都在三角形内
$②$ 有一个角是直角的四边形是矩形
$③$ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
$④$ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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8. 满足下列条件的 $△ A B C$ ，不是直角三角形的是( )

A、 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ B、 $∠ C = ∠ A - ∠ B$ C、 $∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 3$ ： $4$ ： $5$ D、 $a$ ： $b$ ： $c = 12$ ： $13$ ： $5$

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9. 若 $2 < x < 3$ ，那么 $\sqrt{(2 - x)^{2}} + \sqrt{(3 - x)^{2}}$ 的值为( )

A、 $1$ B、 $2 x - 5$ C、 $1$ 或 $2 x - 5$ D、 $- 1$

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10. 如图所示，四边形 $O A B C$ 为正方形，边长为 $6$ ，点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在 $O A$ 上，且 $D$ 的坐标为 $(2,0)$ ， $P$ 是 $O B$ 上的一动点，试求 $P D + P A$ 和的最小值是( )

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4$ D、 $6$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 使式子 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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12. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 100 °$ ，则 $∠ B =$ ．

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13. 在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于 $O$ 点， $A C = 12 c m$ ， $B D = 9 c m$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是 $c m^{2}$ ．

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14. 若 $\sqrt{a + 2} + | 2 a - b + 1 | = 0$ ，则 $(b - a)^{2024} =$

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15. 把长 $A D = 10 c m$ ，宽 $A B = 6 c m$ 的矩形沿着 $A E$ 对折，使点 $D$ 落在 $B C$ 边的点 $F$ 上，则 $D E =$ ．

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16.
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm² ．

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三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算： $| - 2024 | + π^{0} - (\frac{1}{6})^{- 1} + \sqrt{16}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - 2$ ．

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19. 如图， $E$ 、 $F$ 是平行四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上两点， $B E / / D F$ ，求证： $A F = C E$ ．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 、 $F$ 在 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ，求证：四边形 $A F C E$ 是平行四边形．

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21. 在正方形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线， $E$ 为 $A C$ 上一点，连接 $E B$ 、 $E D$ ．

(1)、求证： $△ E B C$ ≌ $△ E D C$ ．

(2)、延长 $B E$ 交 $A D$ 于 $F$ ，当 $C E = B C$ 时，求 $∠ E F D$ 的度数．

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22. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 2$ ，求 $\frac{\sqrt{x + 1}}{y - 1}$ 的值．

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23. 已知：如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = D C = A D = 2$ ， $B C = 4 .$ 求 $∠ B$ 的度数及 $A C$ 的长．

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24. 阅读下列简化过程：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{4} - \sqrt{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ．
解答下列问题：

(1)、直接写出结果 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + 2} + . . . . . + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2022}}$ ；

(3)、设 $a = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ， $b = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ， $c = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系．

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25. 已知：如图在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $A N$ 是 $△ A B C$ 的外角 $∠ C A M$ 的平分线， $C E ⊥ A N$ 于 $E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于 $F$ ．

(1)、试判断四边形 $A D C E$ 的形状，并说明理由．

(2)、求证： $D F / / A B$ ， $D F = \frac{1}{2} A B$ ；

(3)、当 $△ A B C$ 是什么三角形时，四边形 $A D C E$ 是一个正方形？并说明理由．

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