湖南省长沙市湖南师大附中教育集团2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 若二次根式 $\sqrt{3 x - 6}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \geq - 2$ D、 $x \leq 2$

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2. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} \div 3 = 2$

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3. 如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点 $M$ 与点 $C$ 被湖隔开，若测得AB的长为 $5.6 k m$ ，则M、C两点间的距离为（）

A、 $2.8 k m$ B、 $3.6 k m$ C、 $4.6 k m$ D、 $5.6 k m$

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4. 如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线 $A C ⊥ E O$ ，垂足是 $E, A B = 15 c m$ ， $B C = 8 c m$ ， $A E = 22 c m$ ，则 $C E =$ （）

A、 $4 c m$ B、 $5 c m$ C、 $6 c m$ D、 $7 c m$

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5. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列说法错误的是（）

A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C、对角线相等的平行四边形是矩形 D、菱形的对角线互相垂直．

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7. 在 $△ A B C$ 中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∠ A$ 、 $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边，下列条件中，不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$ B、 $a = 2 m$ ， $b = m^{2} - 1$ ， $c = m^{2} + 1 (m > 1)$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 4$ D、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$

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8. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于 $O$ 点，给出四组条件：
⑴ $A B = C D$ ， $A D = B C$ ；⑵ $A B = C D$ ， $A B ∥ C D$ ；
⑶ $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ；⑷ $O A = O C$ ， $O B = O D$ ；
能判定此四边形是平行四边形的组数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = A D$ ，连接BD ， $∠ B A D$ 的平分线交BD ， BC分别于点 $O$ ， $E$ ，若 $E C = 6$ ， $C D = 8$ ，则BO的长为（）

A、8 B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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10. 如图，在正方形ABCD外取一点 $E$ ，连接AE ， BE ， DE ．过点 $A$ 作AE的垂线交DE于点 $P$ ．若 $A E = A P = \sqrt{2}$ ， $P B = 3$ ．下列结论：
① $△ A P D ≌ △ A E B$ ；②点 $B$ 到直线AE的距离是 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ；③ $E B ⊥ E D$ ；④ $S_{正方形 A B C D} = 7 + 2 \sqrt{5}$ ．其中正确的结论个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 化简 $: \sqrt{(- 2024)^{2}} =$

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12. 命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．

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13. 计算： $\sqrt{6 a}$ ÷ $\sqrt{2 a}$ = ．

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14. 如图，已知直线 $a ∥ b ∥ c$ ，直线 $d$ 与它们分别垂直且相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，若 $A C = 9$ ， $B C = 6$ ，则平行线 $a$ ， $b$ 之间的距离是

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是AC ， BC的中点，以 $A$ 为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点 $F$ ，若 $A D = 5$ ， $D E = 4$ ，则BF的长度为．

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16. 如图，正方形ABCD的边长为4， $D M = 1$ ， $N$ 为AC上一点，则 $D N + M N$ 的最小值为．

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）

17. 计算： $| - 2 \sqrt{3} | - 3^{- 1} - \sqrt{6} \times \sqrt{2} + (π - 5)^{0}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(a - \sqrt{2}) (a + \sqrt{2}) + a (a - \frac{1}{a})$ ，其中 $a = - \sqrt{5}$ ．

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19. 如图，四边形ABCD的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1．

(1)、求四边形ABCD的周长；

(2)、求四边形ABCD的面积．

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20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E ， F是对角线AC上的两点， $A E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C B F$ ；

(2)、求证：四边形DEBF是平行四边形．

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21. 国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．

课题	测量学校旗杆的高度
成员	组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具	皮尺等
测量示意图		说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B ，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC ，用皮尺测出BC的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的距离．
测量数据	测量项目	数值
	图1中BC的长度	1米
	图2中BD的长度	5.4米
…	…

(1)、根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度；

(2)、该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到0.01）.

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22. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是BC的中点， $E$ 是AD的中点，过点 $A$ 作 $A F ∥ B C$ 交CE的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证：四边形ADBF是菱形；

(2)、若 $A B = 6$ ， $∠ F B D = 120 °$ ，求CF的长．

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23. 如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点 $B$ 与原点重合，点 $A$ ， $C$ 分别在 $y$ 轴和 $x$ 轴上，顶点 $D (a, b)$ 的坐标a ， b满足 $\sqrt{a - 4} + (b -$ $4)^{2} = 0$ ．

(1)、求证：四边形ABCD为正方形．

(2)、若E点为正方形BC边上的动点，连接AE ，过 $E$ 点作 $E F ⊥ A E$ ，且 $A E = E F$ ，连接CF ， $∠ D C F$ 的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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24. 如图1，在长方形纸片ABCD中， $A B < A D$ ． E为BC上一点，将长方形纸片ABCD沿直线AE折叠，使点 $B$ 落在AD边上，记为点 $F$ ，如图2．

(1)、当 $A D = 5$ ， $A B = 3$ 时，求线段FD的长；

(2)、设 $A D = 5$ ， $A B = x$ ，如果再将 $△ A E F$ 沿直线EF向右翻折，使点 $A$ 落在FD所在的直线上，记作点 $G$ ．若线段 $2 F D = 3 D G$ ，请根据题意画出图形，并求出相应的 $x$ 值；

(3)、设 $A D = m$ ， $A B = n$ ，将 $△ A E F$ 沿直线EF向右翻折后交线段CD于点 $H$ ，连接FH ．当 $S_{四边形 A B C D} = 7 S_{△ H F E}$ 时，求 $m$ ， $n$ 之间的数量关系．

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25. 若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，这条对角线叫做它的“筝线”．

(1)、在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有；

(2)、在“筝形”ABCD中，AC为它的“筝线”，与对角线BD相交于点 $O$ ，且 $∠ B A D + ∠ B C D = 2 ∠ A B C$ ．
①如图1，若 $B C = 2 A B$ ，点 $Q$ 为对角线AC上一点，且 $△ C D Q$ 为等腰三角形，求 $\frac{O Q}{O D}$ 的值；
②如图2，延长BC至点 $M$ ，使得 $C M = C B$ ，连接DM ， $N$ 为DM上一点，且 $N A ⊥ A B$ ， $M N^{2} + B C^{2} - 3 A B^{2} + 8 A B - 8 = 0$ ， $0 < A B < 2$ ，求四边形ABMN面积的最大值．

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